LIVRE III. u4q
a,-\- 1 = h\ , a3 = a4 = etc. = aa = 0 , ou bien a. -H 1 =4-, a, = etc. = a„ = 0.
Si A- admet au plus trois facteurs k, , k,, k3 , on aura les solutions suivantes :
a,+l = k, a,=, a3 = ... = «n = 0 «,-f-l = A, , cc.-j-l = W3, a3 = . . . = a„ = 0 ce , — | — 1 — k,, et,— t~l — A',A'3 , tt3 • • . — cta — 0 a,+l = k3, a,- f-1 — k,k ,, a3 = ... = an = 0 ce , — 1 — 1 — k, , a,— |— 1 —ki, «3+1 — k3, <x$— ... — aB — 0. Si parmi les facteurs k, , k, , k3 , il y en a qui font égaux , il y a réduction dans le nombre des solutions.
PROPOSITION VII. — PROBLÈME
Déterminer combien de fois un nombre premier a est facteur dans le produit des N premiers nombres entiers 1.2.3. 4.5.6. 7. 8.9.
etc. ... N.
Soit d’abord a =z 2. De deux nombres consécutifs de cette série, il y en a un seul qui est divisible p^r 2; ainsi la partie N .
entière du quotient — exprime combien il y a de facteurs divi-
sibles par 2. Mais de 4 en 4 il y en a un seul qui est une seconde
fois divisible par 2; la partie entière de - exprime donc combien
il y a de facteurs qui sont une seconde fois divisibles par 2. De
même la partie entière de — exprime combien il y a de facteurs
qui sont une troisième fois divisibles par 2 ; ainsi la somme des parties entières des quotients
est égale au nombre de fois que le facteur 2 entre dans notre produit, et si N est compris entre 2' et 2i-+-1, le dernier de ces
algLuriî.
quotients est — . Nommons e, , e,, e} . .. . e, ces parties entières,
notre produit sera divisible par 2e,-H!»-t- • ■ ■ ’+■*'> , et le quotient ne sera plus divisible par 2.
On reconnaît de même que le facteur 3 entre dans le produit autant de fois qu’il y a d’unités dans la somme des parties en- N N N
tières des quotients — , — , etc. , et que le facteur pre-
inier a y entre autant de fois qu’il y a d’unités dans la somme
des parties entières des quotients — , — , — j , etc. , — , si
N a* et a*+'.
Corollaire. Il suit de là que le produit de n nombres entiers
consécutifs quelconques (p-f-1) (p+2) . . . (p-(-n) est divisible
par le produit 1.2.3 . . . ( n — l)n. Car dans le premier de ces
produits, de 2 en 2, il y a un facteur divisible par 2; de 4 en 4,
il y en a un qui l’est une seconde fois , etc.; ainsi la somme des
parties entières des quotients - , — , — 3, etc., qui exprime
exactement combien de fois le facteur 2 entre dans le second produit, exprime combien de fois au moins ce facteur entre dans le premier. Je dis au moins : car le produit 1.2.3 ... n ne peut pas contenir de puissance de 2 qui soit plus grande que n, tandis que (/H-l) (p+2) .... (p+n) peut en contenir. C’est ainsi que le produit 32.33. 34. 35 contient le facteur 2 plus de fois que le produit des quatre premiers nombres 1.2. 3.4. Comme le même raisonnement s’applique à tous les facteurs premiers , on conclura que si 2k, 2k/, 5k" .... sont les plus hautes puissances de 2 , 3, 5 ... . qui divisent 1.2.3 . . . . n, ces puissances divisent aussi (p— 1— 1) x .... (p+n). Si donc on suppose le produit 1.2 .... n décomposé dans ses facteurs simples 2k. 3k'. 5k ".7k"'....; tous ces facteurs divisant (p+1) .. . . (p+n) , et étant premiers 2 à 2, leur produit, c’est-à-dire 1.2.... n, divisera aussi (p+1)...
De même, si n, , «,.... n, sont des nombres entiers, tels, que n,+n,+ .... , le produit 1.2.... m ou lm|‘ est di-
visible par 1 11 1 1 1 . 1 “al* . ln3l'. , . , 1 »> il ■ .
LIVhE 111.
