LIVRE III
Remplaçant dans la première a par celte valeur, on aura
(. s — u) q"—' — uq ’ . . — uq — 0
équation du degré n — i , par rapport à q.
Les cas où n est inconnu seront traités plus loin, à la fin dji livre 3.
Remarque 1. \u cas où q et s sont inconnus , se rapporte la question d’insérer un nombre donné de moyens géométriques entre deux nombres a et u. Soit m ce nombre: on a n — m -f* 2.
n— f in-f-i
Or la raison q — j/ - ; donc q —
Supposons que le nombre des moyens soit 2k — 1; on aura n=2l+l , et il y aura au milieu un terme qui sera précédé et 2k
suivi de — = 2k 1 termes ; représentons ce dernier nombre par
i; le terme du milieu aura pour expression aq' et — . ; son carré
sera au, et il sera lui-même — V' au. Soit a' ce nombre.
On verra de même qu’entre a et a' il y a un terme — V' aa‘ ,
qu’entre a‘ et u il y en a un qui est —V a‘u; tous les autres termes pourront de même se calculer par des extractions de racines carrées.
PROPOSITION XVI. — PROBLÈME
Trouver la limite de la somme des termes d’une progression géométrique décroissante.
Une progression géométrique est dite décroissante si 1. L’expression de la somme des termes peut se mettre soys la forme
a — aq" a aqn
Or, si l’on considère différentes progressions ayant a et q com-
ALGEBRE.
muns , et composées l’une de trôis, l’autre de quatre, etc. , termes , on aura pour la somme les valeurs
a aq3
a aq ^
a aq 5
etc.
Ces valeurs ont la partie
commune; les parties
aq3 aq'1 aq 5 1—7 ’ 1—7 ’ 1—7
sont d’autant plus petites que l’exposant de q est plus grand, et en général , plus n sera grand , moins la quantité s différera de
; car la différence entre s et — est ; or il est prouvé
(1. 1 , p. 54) que plus n est grand , plus q " est petit; de plus, on
peut prendre n assez grand pour que q" soit aussi petit qu’on
veut ; il en sera de même de - ^ Donc — est la limite dont
s’approche la valeur de la somme, à mesure que le nombre des termes augmente.
1er Ex. Trouver la limite de la somme des termes de la pro-
gression " 1 : 9 : 4 • g : etc-
Ici a— 1 , q — - , et la limite
2e Ex. La fraction périodique 0,PPP.... (pr. 10) peut aussi être regardée comme une progression géométrique décroissante. C,ar chaque période ayant p chiffres , la première période est égale
à — , b étant la base; depuis la virgule jusqu’à la droite de la
seconde période il y a 2p chiffres ; la seconde période vaut donc P . . P
- — ; de même la troisième vaut 77- , etc.; ainsi la fraction pério-
dique est la limite de la somme
Jv
etc.,
ce qui est une progression géométrique décroissante dont le premier terme a = ^p et la raison <l=^ la limite est donc
comme prop. 10.
Définition 5. Une fraction continue est une expression composée d’une partie entière qui peut être nulle , plus une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur un nombre entier accompagné d’une fraction ayant pour numérateur un nombre entier, et pour dénominateur un nombre entier accompagné d’une fraction, et ainsi de suite. La forme des fractions continues est
e+JL
g+ , etc.
Nous ne considérerons ici que le cas où les numérateurs b, d, f .... sont égaux à l’unité , ce qui donne des expressions de la forme
ÿ.-bl
etc.
Çi — 1+1
AlxhlIRE.
Les nombres q , q, , <7,, etc., se nomment des quotients incomplets; — , — , etc., sont des fractions intégrantes ; enfin on q< q »
nomme réduites les fractions ordinaires que l’on trouve par la transformation immédiate des expressions
, etc.
qui sont les résultats qu’on obtient en arrêtant la fraction continue à l’un quelconque des quotients incomplets. Les deux premières réduites se mettent sous la forme { , — ‘if?.- ; on peut
déduire la troisième de la seconde , en remplaçant q, par <7 H —
et multipliant ensuite les deux termes par <7, ; on peut déduire
la quatrième de la troisième en remplaçant <7, par q,-\ — — et
multipliant les deux termes par q}, et, en général, si l’on a formé l’expression de la réduite qui s’arrête à q,— ,, on peut
trouver celle de la suivante en remplaçant par q,— ,-f —
et multipliant les deux termes par q,. Chacune de ces réduites se présente ainsi sous une forme qui lui est propre; chacune d’elles peut être transformée en une infinité de fractions équivalentes; car m étant un nombre quelconque, on a, par exemple, la se-
