LIVRE III
nous ne donnerons jamais ce nom de réduites aux fractions qui sont équivalentes à celles-là, et que l’on en déduit en en allé-
rant les deux termes. Ainsi, qu on le retienne, n est
mq,
pas une réduite.
PROPOSITION XVII. — THÉORÈME
Deux réduites consécutives quelconques étant données , pour en déduire la suivante , il suffit de multiplier les deux termes de la dernière par le quotient incomplet auquel s’arrête la réduite à former , et d’y ajouter respectivement les deux termes de l’avant-dernière.
Soit la fraction continue
Les deux premières réduites sont ^ Formons la troi-
sième en remplaçant dans la seconde q, par ç,-(-— ; il vient
ql q,- 1 — ]+l
On voit que pour l’obtenir il suffit de multiplier par q,, dernier quotient incomplet qui y entre , les deux termes de la seconde réduite , ce qui donne et d’ajouter terme à
terme la première.
2y2 • Al.GliBRK.
Cela posé , soient ’ rT > tluatrc réduites consécutives
quelconques; soient q,, q,+, les quotients incomplets auxquels
s’arrêtent respectivement —, supposons que la loi de forma-
xi x3
Pa
tion soit vraie pour de sorte qu’on ait terme à terme
— — 1 ■; on aura la fraction jr en remplaçant q, par
Q, Q.gH-Q va
-, ce qui donne
Çi-4-i(P.<7i+P)~+-P ■
?i+i(Qiîi+Q)+Q'
Ql Q'(«'-t-^)+Q
or par hyothèse P, = P.gH-Pi > Q» — Q.?r+-Qi î donc
P, Pagi-t-i-4-P ■
On voit que pour l’obtenir, il Suffit de multiplier par çh-. » dernier quotient incomplet qui y entre, les deux termes de la
précédente ^ et d’ajouter respectivement les deux termes de la
réduite antéprecedente q-.
Donc la loi de formation suposée vraie pour une réduite comparée aux deux précédentes est aussi vraie pour la suivante. Or elle est prouvée pour la troisième ; donc elle sera vraie pour la quatrième, pour la cinquième, etc., et pour toutes les réduites.
Corollaire. Les numérateurs des réduites successives vont en augmentant, si tous les quotients incomplets sont positifs : car puisque P, = P,gH-P, et que q, est au moins égal à l’unité, chaque numérateur est au moins égal à la somme des deux précédents. Ainsi les numérateurs sont des nombres entiers
