I.IVRE III
croissants; par conséquent, si la fraction continue ne se termine pas, les numérateurs, ainsi que les dénominateurs, croîtront jusqu’à l’infini.
Le cas où les dénominateurs augmentent le plus lentement, est celui où tous les quotients q, , , etc., sont égaux à l’unité,
c’est-à-dire où la fraction continue est de la forme
"+ïTï .
l-f- etc. ’
la première réduite est la seconde ; d’après la loi de
formation les dénominateurs des suivantes sont 2, 3, 5 , 8, 13..., chacun étant égal à la somme des deux précédents. Ainsi les deux premiers étant égaux à l’unité, le cinquième est 5, chacun des suivants est plus grand que son rang, le huitième est 21 qui. surpasse le double de 8 , etc.*
PROPOSITION XVIII. — THEOREME.
Si les quotients incomplets sont tous positifs , les réduites de rang impair sont toutes plus petites , les réduites' de rang pair sont plus grandes , que la fraction continue totale ; et de deux réduites consécutives , la dernière diffère le. moins de cette fraction.
La première réduite ^ est évidemment moindre quç
etc.
Représentons par y la quantité q -
etc,
; nous avons (p. 17)
II existe une formule générale pour ce dénominateur; mais elle est peu commode. ,
a^gLbrk.
P, P.giH- P Q» QjîH-Q
, et si l’on remplace </, par y, il est évident que
et
se changera en x ; donc P r-4-P
x = (ÿ'r-yQ d oi‘ = P'/+P
OrQ, Q, ,y, sont positifs; donc x— q->q — x sont de même
signe, ce qui prouve que si x est ou -7-, il sera <^ou^>p-s
mais a; est la première réduite donc il est plus petit que
la seconde , plus grand que la troisième, etc. Donc toutes les réduites de rang impair sont plus petites, que x , et celles de rang pair sont plus grandes que x.
En second lieu dans l’équation (1) y est ^ 1 , Q, est ^>Q;
donc Q,y > Q, cl par compensation, la valeur absolue de
x — — ^ est celle de — — x. Donc-^- diffère de x moins que —.
Corollaire 1. Supposons qu’on écrive à la suite l’une de l’autre les réduites de rang impair dans l’ordre où elles se présentent; elles sont toutes moindres que x ; la troisième de toutes les réduites diffère de x moins que la seconde, et celle-ci moins que la première; donc la différence entre x et la troisième est moindre que la différence entre x et la première. Ainsi nos réduites consécutives de rang impair s’approchent*de plus en plus de x qui les surpasse; donc elles vont en augmentant. On reconnaîtra de même que les réduites de rang pair vont en diminuant. Si donc la fraction continue ne se termine pas, les réduites consécutives de rang impair formeront une série d’un nombre infini de termes croissants , mais tous moindres que x, et les réduites de rang pair formeront une seconde série de termes décroissants, mais tous plus grands que x, qui est par suite la limite commune de ces deux séries. •
