P, P, P,^H-P P, PQ.-P.Q

0, Q, Q.ÿrf-Q Q, Q,QV ■

Ainsi en retranchant chaque réduite de la suivante, on obtient des fractions dont les numérateurs sont égaux, au signe près. Or

les deux premières réduites donnent pour différence

— , fraction dont le numérateur est -f-1 . Donc toutes ces dififé-

rences ont pour numérateur +1 ou — 1.

PROPOSITION XX. — THÉORÈME

Les réduites sont des fractions irréductibles.

En effet on a PQ, — P,Q = ±1; donc tout facteur commun à P et Q, divisant PQ, et P,Q, , devrait diviser 1 ; donc P et Q

A LGÉRRE.

n’onl pas d’antre facteur commun quë l’unité, et la réduite —

est irréductible.

PROPOSITION XXI. — THÉORÈME

La différence entre x et une réduite quelconque est moindre que l’unité divisée par le produit du dénominateur de cette réduite , multiplié par la somme de ce dénominateur et du dénominateur de la réduite précédente.

Comme x est compris entre deux réduites consécutives

P, Pu . P,

pp, il s’ensuit que la "valeur absolue de x — pp- est moindre

Xi Xî XI

Pa P. J __

que celle dep^ — ^ , laquelle est (p. 20) -- ; mais Q, .. Q.-+-Q

Va Vi . ViV» /

(p. 17, c.); donc la valeur absolue de x — est à fortiori

moindre que Q (Q*+Q) •

Corollaire. Il est évident que — — — — p— . Donc la dif-

VivVtiV/ xi

férence entre x et une réduite est moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de cette réduite.

PROPOSITION XXII. — THEOREME.

La valeur d’une fraction continue peut être calculée , sinon exactement , du moins avec tel degré' d’approximation qu’on

Si la fraction' continue se termine, la dernière réduite en sera

la valeur exacte. Si cela n’est pas, soit une réduite; le mop. i

dule de x — ^ - est moindre que pp-j or Q, peut être pris aussi