il suffit que p— - , ce qui donne
Il suffit donc d’aller jusqu’à une réduite dont le dénominateur soit C7 la racine carrée de la fraction d’approximation renversée.
Remarque. Si [/ — n’est pas moindre que 5, il n’y aura pas
plus de réduites à calculer qu’il n’y a d’unités dans [/ — ;sil/—
n’est pas moindre que 21 , on n’a pas plus de réduites à calculer
qu’il n’y a d’unités dans „(/ -. . . ., etc. Car dans le cas le plus * a
défavorable le dénominateur de la cinquième réduite est 5, celui de la huitième est 21, etc. (p. 17 , c.).
Par exemple, s’il s’agit d’avoir x à moins 011 a
il suffit d’aller jusqu’à la première réduite dont le dénominateur est ^ 10 , ce qui a lieu à la septième, au plus tard.
ALGkliRE.
PROPOSITION XXIII. — THEOREME.
Une réduite quelconque ■— diffère de x moins que toute autre
fraction p dont le dénominateur b est moindre que celui de cette réduite.
Si la fraction ~ est une réduite, la proposition est prouvée;
car puisque son dénominateur b est moindre que Q„- précède
çp et par suite— diffère de x plus que pj- (p. 18)*
Supposons donc que p ne soit pas une réduite; x est compris
entre r- et de plus x est plus rapproché de pp que de— ; donc
X Vi Xi V
pour que p diffère de x moins que , il faut que - tombe entre
P, P , , PP, a
x et rr-, ou entre x et -- , cest-a-dire entre — et—. Mais si -
tombait entre ces deux réduites le module de
serait
moindre que celui — lequel est^p-p ;donc on aurait
Module de
Q bJ'QQ,
ou module de (P b — aQ) — ;
mais P, b, a, Q, sont entiers; donc Pô — aQ est un nombre en-
tier qui d’ailleurs ne saurait. être nul , puisque — n’est pas égal à
i.rvRE ni. 279
7. Ainsi un nombre entier serait moindre que j=- qui est <^1 , vu o y,
que b est supposé <\Q,
H s’ensuit que — ne saurait être compris entre ^ et r-; et par
O V xi
conséquent - diffère de v plus que^r- O * V'
PROPOSITION XXIV. — PROBLEME
Réduire une quantité en fraction continue.
Soit a? l’expression qu’il sagit de réduire en fraction continue. On la calculera à une unité près en moins : soit q la valeur de
a; ainsi calculée, — la partie restante, moindre que I'.
On aura
Puisque - est 1 , / sera 1. On calculera de même / à une unité près en moins.
Soit /=</,-(-— , </, étant en entier et /, 1.*
Soit de même /, = </,-) ,y\ — q3- 1 ■■ , etc., . . . q„, q} . . .
Y* Yi
étant entiers , /,, jr3, etc., plus grands que 1 ; on aura
q i -h , etc.
Si a? est une fraction ordinaire q qui en est la partie entière
s’obtiendra par la division ; soit A = B q-\-r , r étant le reste moindre que B;
ALGÈBRE
delà 5=g + g;doncg = -etr=?
Soit q , le quotient, r, le reste de la division de B par r; il vient ' f* \ • r r
y~q- 1 — -, et — = — , d’où v, = —, etc. On voit que q,q,,q„e te., r y, r r,
sont les quotients qu’on trouve en cherchant le plus grand commun diviseur de A et B. Comme on finira par tiouver un reste nul , attendu que deux nombres entiers ont toujours au moins l’unité pour plus grand commun diviseur, on en conclut que la fraction continue se terminera. Ainsi tout nombre commensurable est égal à une fraction continue qui se termine; réciproquement toute fraction continue terminée étant égale à la dernière réduite, représentera un nçmbre commensurable. Donc tout nombre incommensurable donne naissance à une fraction continue indéfinie, et toute fraction continue indéfinie représente un nombre incommensurable.
Soit à réduire en fraction continue la fraction
On cherche le plus grand commun diviseur.
Ainsi
Les réduites formées d’après la p. 17, sont
Pour la fraction -rj-j , on trouve 2u44
