LIVRE IV
Soit a une racine entière , les coefficients \ ... \m étant tous entiers.
On aura
Am = — Am,a— Am aa1~Am 3a3 — A.a0*-'— Aam.
Nommons q , le quotient de Ara par a; il vient
q . — — =— Ara,— \m-2a— Am 3a1— ... — A.a”*^1— Aam— , a
transposant Am,, divisant par a, et nommant q2 le quotient,
<h±Kn-, Am i Ain 3<I A.a™- 3 — Aam—\
Tous les nombres qui entrent dans le dernier membre sont entiers; q2 qui en est la somme algébrique est donc aussi entier.
Transposant — A,,,—,, divisant par a, et nommant q3 le quotient,
g.+A—, = Aai 3 Airf»- 4 Aa—3,
qui est encore entier.
On arrivera ainsi à
puis
An, — n
On trouvera donc aussi
- A , rtm— »— 1 Aam-n— .
—A, — An,
transposant — A, et divisant par a, on aura <7m— I+A, A
Ainsi le dernier quotient est égal au coefficient de^m, pris en signe contraire.
ALGkBBE.
4oa
Les conditions indiquées dans l’énoncé sont donc toutes nécessaires. Elles sont suffisantes ; en effet supposons qu’on ait les identités
Am
f/j-t-Am— j
etc.
qa =
*7"+' — etc.
Qn — i"^- Am — ii.}m
9n+Am„
(jm — i *
ffm— l4~A,
on multiplie la première par a , la seconde par a*, etc.; enfin la me par am , et il vient
aq, —
Am
aq Am—- iU
à’Çt- (-Am— ><**
etc.
fl”“,?0-.+Anl 0+1an-
an<7„— f-Am-n«n
etc.
fcCÏ
0 = ara-,9m l-f-AamH-A1«m—.
Ajoutant toutes ces identités , on a
0 = Aam+A,am,H- etc. +Am-„an+ .. . +Am,a-)-Am ,
identité qui prouve que, en effet, a est racine de l’équation proposée.
Remarque 1. Celte dernière conséquence est vraie, que a soit entier ou non; de même les coefficients À, A, , . .. Am et q, , q, ... peuvent être entiers ou non. Car la somme des identités (1) conduit toujours à 0=:Aam-|- ... +Ara.
Remarque 2. Si a est racine de fx = 0 , les quantités — A, qm- 1, qm—,,.. . q 3, q*,q, , ne sontaulre chose que les coefficients
du quotient
, pris en signe contraire. Çn
effet les rela-
tions (1) ci-dessus donnent
— qm — = A«-f-A,
' q rn — a Q ni — I . a I 'V .
ce qui montre que — qm—, se déduit de A, premier coefficient du quotient, d’après la loi qui sert à former le second coefficient de ce quotient (p. 9 , c. 1) et que, en général, -~q„ sc déduit de — d’après la même loi.
Donc si fa — 0 , on a
fx
— Axm— — qm,xm^’— qm-*xm~ 5— ... —q,x—q,.
PROPOSITION XXXV. — PROBLÈME
Étant donnée une équation fx = 0 , dont les coefficients sont • des nombres entiers , trouver toutes ses racines entières tant simples que multiples ( égales ) et déterminer combien de fois chacune de celles-ci est racine.
Soit l’équation fx = 0 ou A^rm— f— ... -+-Am — 0.
On détermine tous les diviseurs de Am, en tant qu’ils sont compris entre les deux limites extrêmes. Soit a un de ces diviseurs : on divise Am par a; au quotient on ajoute Am, , et on divise la somme par a; si le quotient n’est pas entier, a n’est pas racine; s’il est entier, on y a joute A„, , et ainsi de suite.
ALGklSRE.
Supposons que a soit racine, on connaîtra immédiatement le quotient d cfx par x — a; ce quotient égalé à zéro est
Axm~ ' — — ... — q, = 0,
et fournit les autres racines d efx = 0. $i a divise q , et se trouve compris entre les limites extrêmes des racines de celte nouvelle équation, on l’essayera, et ainsi de suite.
Ex. 1. xrj — 13x*+67x3 — 171x’+216x — 108 = 0.
La limite supérieure, déterminée par décomposition (p. 31) est 13; l’équation étant du reste complète et n’ayant point de permanences , n’a pas de racines négatives. Il reste donc à chercher les diviseurs du dernier terme 108, depuis 0 jusqu’à 13. Ces diviseurs sont
Quant à 1 , on peut lui appliquer la même règle, ou calculer immédiatement /I ; la première manière est préférable, parce que si 1 est racine , on a aussi immédiatement le quotient de fx par x — 1 . On trouvera ici que 1 n’est pas racine. Quant à 2 et 3 , voici le tableau des opérations :
1) x 5 — 1 3 je4— 1— 67 jït3 — 171 ce*— J— 2 1 6a? — 108 rr 0.
jc~2
Divisez — 108 par 2, il vient — 54 qu’on a écrit sous — 108, à la ligne 3; on y ajoute +216 , coefficient de x' , ce qui donne +162, qu’on a écrit sous 216-r; on divise +162 par 2 ; on a +8 1 , qu’on ajoute à — 171, coefficient de x * , et l’on a — 90 ,
