LIVRE IV

Or, ici il n’y a que deux permanences, donc pas plus de deux racines négatives; ainsi il y a au moins dix racines imaginaires, comme le théorème général permet de le conclure.

PROPOSITION XXXII. — THÉORÈME

Une équation complète qui a toutes ses racines réelles, a autant de racines positives que de variations , et autant de racines négatives que de permanences.

Soit V le nombre des variations, P le nombre des permanences, m le degré d’équation; puisqu’elle est cohiplète, on a VH-P = m. Soit p le nombre des racines positives, n le nombre des racines négatives; puisque toutes les racines sont réelles, on a aussi p-f-n — m ; donc p+n = V-+- P; mais (p. 30) p ne saurait surpasser V ; donc n n’est pas inférieur à P ; car si l’on avait n <^P, il faudrait que p fût )> V; mais n n’est pas non plus supérieur à P (p. 30); donc n=Pet p = V; ainsi le nombre des racines positives est égal , etc.

Remarque 1. Une équation peut avoir toutes ses racines réelles sans être complète. Telles sont les équations

x' — 1 =0, a?4 — 10a;’-{-9 = 0 , etc.

•Une condition nécessaire, c’est qu’il n’y ait aucune lacune où il manque plus d’un terme et que là où il en manque un, ce soit entre deux termes de signes contraires (p. 31).

Dans une pareille équation le nombre des variations est égal au nombre des racines positives; de là on déduit facilement le nombre des racines négatives.

Remarque 2. On reconnaîtra combien les énoncés des prop. 30 , 31 , 32 deviendraient embarrassants , si l’on ne regardait pas les racines égales comme autant de racines distinctes.

PROPOSITION XXXIII. — THÉORÈME

Toute racine entière d’une équation à coefficients entiers est un diviseur du dernier terme.

4oo Ai.fil-Bni;.

Soit l’équation

Axm-h\,xm . — f-At- — . ,x— f-Am 0;

les coefficients A, À, , . Am étant tous entiers; soit a une racine entière de cette équation; on 'aura l’identité

Aam-f-A,am 1 — {— • • • —{—Am ,a-f-Am 0 ,

ou Aam-+-A>am-~‘~\T- * » « — |— Âm — 1 a — Am.

Or le premier membre est divisible par a, vu que toutes les lettres qui y entrent, représentent des nombres enüers; donc Am est aussi divisible par a.

Corollaire. On peut donc reconnaître tous les nombres entiers qui sont racines d’une équation , en prenant tous les diviseurs du dernier terme qui sont compris entre les deux limites extrêmes , et les substituant à la place de x dans l’équation; ceux qui annulent le premier membre, sont racines. Cette substitution peut se faire comme le calcul de fx (prop. 2, c. 2) ; ce qui est assez simple. On préfère ordinairement un procédé fondé sur la

PROPOSITION XXXIV. — THÉORÈME

Pour qu’un diviseur du dernier terme d’une équation à coefficients entiers soit racine, il faut et il suffit qu’il remplisse les conditions suivantes :

1° Que le quotient du dernier terme par ce diviseur, ajouté au coefficient de x' , donne une somme divisible par ce même diviseur.

2“ Que ce nouveau quotient, ajouté au coefficient de x’, donne une somme divisible par ce même diviseur.

3° Que ce dernier quotient , augmenté du coefficient de x3, donne une somme divisible par ce diviseur.

Et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait été conduit à ajouter le coefficient de xm 1 ; la somme ainsi obtenue, divisée par le diviseur en question, devra donner un quotient égal au coefficient de x", pris en signe contraire.

Soit l’équation

Ax“’-{-A1Xm-,-f- ... -j-Am-a^-f-Am-^’H-Am-.X-f-Am — 0.