LIVRE IV

On multiplie par 2

' — iSpqx-\-4p3

reste 27<7’+4p3. Ainsi f3 — — 27<7’ — 4 p3.

Il faut que P soit positif, ainsi que le premier terme de f,.v; ainsi

ou /k^O j 27çH-4p3<7).

La première condition est une suite de la seconde, puisque la seconde donne 4p3<f — 27^’, ce qui exige que p<^0.

Il reste donc la condition unique

27^+4p3<0 ou

ou (i«) GO <o*

Il résulte d’ailleurs de p. 24 , c. 2, que toute équation du troisième degré se ramème à la forme x3-\-px-\-q = 0.

PROPOSITION XLVIIU — PROBLÈME.

Etant donnée une équation fx = 0 , qui n’a ni racines commensurables , ni racines égales , déterminer le nombre de ses racines réelles , et calculer chacune de ces racines à une unité près.

On cherchera les limites extrêmes que nous nommerons -f-L et — L1. On calculera /(L),/(L-1), /(L— 2) ,.../2, fi , /O, /( — 1) ,/( — 2) . . ./( — L4-1), /( — L') , en remarquant néanmoins, comme on va le voir, qu’il suffit de connaître les signes de ces quantités. Or , ici deux cas peuvent se présenter :

1er Cas. La suite de ces quantités, de /L à /( — L'), offre autant de changements de signes qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation. Dans ce cas, toutes les racines de l’équation sont réelles, et connues à une unité près chacune. En effet , soit ni le degré de l’équation, par suite la série /L, etc., offre m changements de signe : or, si /(a+l) et fa sont de signes contraires, c’est qu’entre a-f-1 et « il y a au moins une racine réelle (p. 42).

ALGEBRE*

ainsi chaque changement de signe en question indique une racine réelle , ce qui fait au moins m racines réelles ; d’ailleurs entre a-\- 1 et a il ne saurait y avoir plus d’une racine, sans quoi l’équation aurait plus de m racines réelles , ce qui ne se peut. Donc à chaque changement de signe répond une seule racine, et les deux nombres entiers consécutifs qui ont donné ce changement, expriment, chacun, cette racine à moins d’une unité près.

1er Exemple, fx — ®3 — 8®-f-6 = 0. On a L = 3, — L' ~ — 4.

Les fonctions/3 ,/2,/l ,/0,/(-l),/(-2),/(-3),/(-4). ont les signes -f- — — + H- -4- + —

Ainsi il y a une racine réelle entre 3 et 2, une autre entre 1 et 0 , et la troisième est entre — 3 et — 4.

2e Exemple. f x~x' — 1 J— 3jt— f— 2 = 0.

Ici L = 4 , — L1 = — 4. Ensuite

/4 , /3 , /2 , fl , /O , /(- 1 ) , /( — 2) , /( — 3) , /( — 4)'

Ainsi une racine entre 4 et 3 , une entre 1 et 0, une entre 0 et — t , et la dernière entre — 3 et — 4.

2e Cas. La série /L , . . . ./(— L') , a moins de m changements désigné; dès lors, si /(a-+-l),/a sont de signes contraires; on ne peut pas affirmer, en général, que a et tf+1 ne comprennent qu’une racine, et si/Q9+l) et f(i sont de même signe, il peut se faire qu’entre ft et /?— (— 1 il n’y ait pas de racines, ou qu’il y en ait un nombre pair (p. 43).

Pour lever les doutes, on applique le théorème de Sturm; l’on cherche combien il y a de racines entre L et L — 1 , L — 1 et L— 2, etc., ..., — L'— f-1 et — L', et la question est résolue.

1er Exemple, x' — 4®3-t-®’-|-6®-l-2 = 0. L = 3 , — L' =: — 1.

Ici tous les nombres 3,2, 1 , 0 , — 1 rendent/r positif. On cherche donc/®, f,x, etc.;/® est divisible par 2, et on multiplie fx aussi par 2.

-^5®’-|-10.r-(-7. Ainsi/,® =-+-5®’ — 10® — 7