LIVRE IV
fx
les racines de'— = 0 sont x — a, b , c ... ré, b',c\ et je dis que
si x varie d’une racine à l’autre,1^- changera de signe.
En effet on a
-\-fî(x — a) ( x — c ) . . . ( x — a’) ( x — A') . . .
+ etc.
fx f* X
Représentons ^ par (px et par y>x; on a
(f(ci — /()= — h(a — A — b) (a — h — c) . . . (a — h — a') (a — h — b") . . » y,(a—h)= «(a -h — b) (a — A — c) .. . (a — h— a') (a — A — A1) ... — Aj/3(«— A— c) . ..+y(a— A— A)...-f-... J Or le signe de t^(a — A) dépend de celui de sa première ligne , puisque A est infiniment petit, et ce signe est, comme on voit, contraire à celui de <jp(a — A). On reconnaît de même que qj(a-f-A) estdemême signe que y(a-f-A). Donc <px et ifjx peuvent être employés; d’ailleurs les restes seront évidemment
etc
Remarque 6. Il a été démontré que si A, A' sont deux racines consécutives de fx = 0 , /’(A-)-A) et f(b' — A) sont de signes contraires; donc entre A-f-A et A1 — A, ou, ce qui revient au même, entre A et A1, l’équation fx— 0 a au moins une racine réelle. Ainsi entre deux racines réelles consécutives de la proposée fx=z0, il en tombe au moins une de la dérivée f'x=0, de sorte que la proposée a tout au plus une racine réelle de plus que la dérivée. C’est le théorème de Rollf.
PROPOSITION XLVII. — PROBLÈME
Trouver les conditions nécessaires pour qu’une équation xm — | — p , .ar"1 1 — | — . . . -f-pm = 0 ait toutes ses racines réelles.
ALf.fcnnK.
Nommons fx le premier membre de l’équalion, et cherchons les fonctions fx, fx, fx . ..f, d’après proposition 46. Les
racines réelles sont toutes entre — oo et . Soit V le nombre des variations relatives à — oo, v celles qui répondent à -f-ao . Il faudra que V — v soit égal à m. Or le nombre des fonctions f,f,f ,, •••/„ ne saurait surpasser m+1 ; donc le nombre des variations qu’elles fournissent, lorsque x — — oo , ne saurait surpasser ni; donc le maximum de V — m; mais puisqueV — v—ni, Ou Vr — v-\-m , il faut donc que Y = m et v = 0.
Ainsi lorsque .r = oo , il faut que les fonctions/r,/#, .../„ soient toutes de même signe; mais si ^ = -f-oo , chacune prend le signe de son premier terme (p. 3, c. 1 et 2), et les deux premières ont leurs premiers termes positifs; donc il faut que toutes ces fonctions fx, fx...fu aient aussi leurs -premiers termes positifs.
Celte condition suffit : car les fonctions fx, fx, ... étant alternativement de degré pair et de degré impair et au nombre de m-f-1, si l’on y fait x— — oo , celles qui sont de degré pair seront positives, les autres seront négatives; elles n’offriront que des variations, au nombre de m. Donc Y — m, u = 0, et l’équation aura ses m racines réelles.
Ainsi on opérera sur fx et fx , comme le prescrit la prop. 46; il faudra que les degrés des fonctions fx, fx, ... f ' aillent en diminuant d’une unité et que les premiers termes de f,x, f%x ... fu soient positifs; comme ces fonctions, depuis f,x qu’on peut écrire aussi /m,, sont au nombre de m — 1, il en résulte m — 1 conditions.
Exemple. L’équation x3-\-px-+-q =0; on a f'x = 3jr’-f-p. Pour diviser, on peut multiplier fx par 3.
