Méthode de Lagrange

Cette méthode développe les racines en fractions continues. 1er Cas. On suppose qu’entre a et a+1 il n’y ait qu’une racine. Soit /r=0 l’équation supposée du degré m; on pose (1.3,

p. 24) x=a-\ — ; puisque x n’a qu’une valeur comprise entre a et a- 1-1 , il s’ensuit que - n’aura qu’une valeur positive plus

petite que 1 , et que y n’aura qu’une valeur positive plus grande que 1. On formera donc l’équation.

f{a+i) -f^ifa+¥rflarh"-+ i.ïïm.rfo (p' 2)*

Multipliant par y™, on a

équation que je représente par œy = 0.

Cette équation ayant une seule racine positive plus grande que 1 , c’est-à-dire comprise entre 1 et la limite supérieure L, , on est certain que (p 1 est négatif, vu que eph, est positif (p. 43). On calculera donc (p2 , ç>3,..., jusqu’à ce qu’on arrive à deux nombres 0,6+1» tels > que ç>6 <( 0 et y (6 + 1) )> 0 , cè qui arrivera au plus tard à L, — 1 et L..

La valeur de y sera comprise entre 6 et 6+ 1. Donc on fera

y = 6 + -; z n’aura qu’une valeur positive, sans quoi y au-

ALGEBRE.

rait deux valeurs plus grandes que b, ce qui n’esl pas ; celte valeur positive de z est d’ailleurs plus grande que 1. On calculera donc

qui donne

z'a(pb + zm- ‘(f’b + ....

( pmb 2.3 .ni

équation que je nomme ifjz = 0.

On calcule xfô , et l’on parviendra à trouver la va-

leur de z à une unité près; soit c cette valeur; on pose z—c-\~—

et ainsi de suite.

Ainsi x sera développé en fraction continue

et pourra être calculé avec tel degré d’approximation qu’on voudra.

Exemple. fx xzx3 — 8jH-6”0.

Ainsi qu’on l’a vu (p. 48), cette équation a une racine entre 2 et 3. On fait donc

x = 2-\ — , et l’on a

On trouve (p. 2) /2= -2, /' 2 = 4 , i f "2 = 6 , \f " 2=1.

Et (fX— — 4y’ — 6y — 1 == 0.

La limite L, =1 + - = 4; les deux premiers termes se met-

au

tant sous la forme 2/’ (y — 2) , on voit que y— 2 donne du négatif. <jp3 est encore négatif ; donc y est compris entre 3 et 4 , et

l’on fait y = 3 -F \ , ce qui donne