LIVRE IV
9 (3+ i) ~ § ST 9’"3+ OF 9>’"3 -°-
Cette équation devient t pz = z3 — 24z’ — 14 z — 2 = 0.
La limite est 25 ; les deux premiers termes , mis sous la forme 3’(z — 24), montrent que z = 24 donne du négatif; donc z est
entre 24 et 25; faisant z = 24+ — , on obtient la transformée
en t.
La limite est ou 3; 2 dçnne du positif; donc *=1+-;
' on trouve encore u = 1-| — , etc. La valeur de x , en tant qu’elle
est calculée, est
Les réduites sont (I. 3, p. 17) :
2 7 170 177 347 ’ î’ 3’ JW' 76 ’ 149'
Cette dernière réduite est en défaut , et la limite de l’approximation est (I. 3, p. 21):
Par conséquent on peut la réduire en décimales, et en s’arrêtant au quatrième chiffre décimal pris en plus, on aura x à moins de 0,0001 (p. 24, c. 1)
Pour reconnaître si cette valeur est approchée en plus ou en moins , on sait que
ALGEBRE.
Ensuite Donc •
ou
1490000 x = 2,3289+ot— (i,
Donc 2,3289 est en plus, et x est entre ce nombre et 2,3288. Si la limite de a — /9 avait été )>0, on n’aurait rien pu affirmer; dans ce cas on aurait calculé /(2,3289) dont le signe , comparé à celui de/3 ou de/2, aurait résolu la question (p. 42).
La même équation x 3 — 8^+6 = 0 3 une racine entre 0 et 1 , et une autre entre — 3 et — 4. Pour trouver la première, on fait
„ 1 1 x — oh — — — .
Pour trouver la dernière , on pose x = — x' , et l’équation x13 — 8 j?1 — 6 = 0,
aura une racine entre 3 et 4 , racine qu’on cherchera comme cidessus.
2e Cas. Entre a et a-f-1 il y a plus d’une racine; d’après la proposition 46 on sait combien il y a de racines entre a et
a-f-l : soit k leur nombre. On pose x = a + -, et - devra
avoir k valeurs positives plus petites que 1, ou, ce qui revient
au
même, l’équation J ^ = 0, devra avoir k racines posi-
tives plus grandes que 1. Représentons par (py = 0 cette transformée ; on en cherchera la limite supérieure L, et l’on calculera çjl , ÿ2 ... (pLt. Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette série de résultats présente k changements de signe, ou elle en présente moins. Dans le premier cas, les k racines de l’équation (py— 0 sont en évidence; et l’on peut en continuer le calcul au moyen de la méthode de Lagrange. Dans le second cas, on cherche (p. 46) combien l’équation (py = 0 a de racines réelles entre 1 et 2, entre 2 et 3, etc. Toutes les fois que deux de ces nombres ne comprennent qu’une racine, on peut continuer le
l-IVBli IV.
OU
calcul de cette racine. Soient 6 et 6+1 des nombres qui comprennent plus d’une racine, et soit /r' le nombre de ces racines.
On posey:=ô+-, on calcule l’équation <jp(V+-)=:0,
yjz = 0, et celte équation aura hJ racines positives plus grandes que 1. On la traitera donc comme l’équation \}>y == 0 , et l’on parviendra ainsi à trouver toutes les racines réelles de la proposée.
On remarquera d’ailleurs que, pour appliquer la proposition 46 à l’équation cfy — 0 , il n’est pas nécessaire de chercher le plus grand commun diviseur de <py et de sa dérivée ; il suffira
de faire x — a-| — dans les polynômes
fx >f x > f\x >f*x • •
En effet, prenons ces fonctions
puisque l’équation en y a h racines comprises entre b et 6+1 ,
l’équation en x a k racines entre a+ 7 et cH —7. Par consé-
quent si dans ces fx,f x,f,x ... on fait
on perdra h variations. Mais faire ces substitutions revient au même que de faire y = 6+1 et y — 6 dans
Donc on peut se servir de ces dernières fonctions, pourvu qu’on n’oublie pas, ce dont le calcul avertira d’ailleurs, que 6+1 donnera plus de variations que 6. Ce sera le contraire pour z ,
où l’on se servira de /" ( 6+ etc., c’est-à-dire que dans
AI.UÉBRE.
tières, on remplacera y par b-\ — .
etc., transformées en fonctions en-
