THÉORÈME

Soient a , b , c , d , etc. , des variables ayant chacune leur limite. A, B, C , D, etc. ; dans toute relation entre ces variables ,

AUÎkllRi;.

pourvu que cette relation soit de la forme a— |— l»— {— .. = c-}-d— (- . . , on peut remplacer les quantités variables par leurs limites , de sorte qu’on aura

A— |— B-j— . . . ” C— i — Lk — ( — .

Car a, b,c,d... différant infiniment peu de A, B , C, D... la somme a-f-M- . . . diffère infiniment peu de A+B ... et c-+-d-fde C-f-D , etc.; donc A+B+ ... est la limite de a-+-b- h ...» et C+D, etc. , de c-\-d ...; mais deux variables égales ont des limites égales (3°) ; donc A-f-B-+- . . . =C+D-H

Remarque 1. Il est clair que a, b,c, d ... peuvent être des produits de facteurs, les uns variables, les autres invariables; ces derniers se retrouvent dans À , B , C , D . . .; les premiers y sont remplacés par leurs limites.

Remarque 2. La relation dont il s’agit dans l’énoncé du théorème 1 peut être une proportion telle que a : b : : c : d; car de là on conclut cld — bc , et pour les limites AD — BC , ou A : B : : C : D.

Remarque 3. Le théorème ci-dessus s’énonce encore ainsi : On peut négliger l’infiniment petit à côté des quantités invariables. Pour sentir l’identité de ces deux énoncés, on n’a qu’à représenter par a, y, d, les différences infiniment petites entre les variables a, b, c, d et leurs limites A , B , C , D , etc. , de sorte que a — A+a , B = 6-f-/?,etc.,et la relation = c-\-d- +- . . devient

A+a+B+^î-f- C— (— y— (— D— | — fï '-+-

or, écrire A+B-f- . . . = C-f-D-f- ... comme il est démontré qu’on peut le faire , c’est supprimer à la fois tous les infiniment petits a, (3, y, &-

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