ÉLÉMENTS DE LA THEORIE DES INFINIMENT PETITS

Définition 1. On^ entend par infiniment petite une grandeur qui, dans le meme raisonnement, peut être remplacée par une infinité d’autres, aussi petites qu’on voudra par rapport aux

données, soit que cette substitution puisse s’opérer immédiatement et à volonté, soit qu’elle puisse être conçue comme une conséquence d’autres constructions ou raisonnements. Cette définition peut elle-même être présentée sous la forme suivante : Une grandeur est infiniment petite lorsqu’elle peut être rendue plus petite que toute grandeur donnée de même nature.

Il y a encore quelques expressions dont nous nous servirons pour donner aux raisonnements plus de concision , et que nous allons expliquer par des exemples tirés de l’arithmétique.

On sait que si aux deux termes d’une fraction telle que - on

ajoute un même nombre , la nouvelle fraction obtenue est plus grande que la première ; si sur cette nouvelle fraction on opère de même, on en obtient une troisième plus grande que la se conde, et ainsi de suite. Cependant par cette opération seule

on ne pourra jamais déduire de la fraction - une nouvelle frac-

tion supérieure ni même égale à l’unité, puisque dans toutes ces fractions le numérateur sera surpassé de deux unités par le dénominateur. On peut cependant arriver ainsi à des fractions qui diffèrent de l’unité d’aussi peu que l’on voudra; ainsi, en ajoutant un million aux deux termes, on a la fraction

qui ne diffère de l’unité que de j qqq qqj- P°ur exprimer cette

propriété d’une manière concise, on est convenu de dire que l’on fait varier le numérateur et le dénominateur de la fraction

- , ou que l’on donne des accroissements à ces deux termes ; on

est convenu encore de dire que si les deux termes de la fraction

- reçoivent des accroissements égaux, aussi grands qu’on veut, *

la fraction - croîtra, mais que la limite de cette fraction sera l’unité. On pourra faire en sorte que les fractions que l’on ob-

At.GkBftE.

tient, approchent de l’unité d’aussi près qu’on voudra, ou, en

d’autres termes, on peut faire en sorte que la fraction -, en

variant, vienne à différer infiniment peu de sa limite 1 ; mais jamais elle n’atteindra cette limite.

Dans cet énoncé on regarde donc les fractions -, -, -, etc.

comme les valeurs que prend une grandeur abstraite, qu’on désigne ici sous le nom de fraction variable ou simplement variable, et l’on ajoute que cette variable peut s’approcher indéfiniment de sa limite 1.

Définition 2. En général , lorsque l’on considère plusieurs grandeurs assujetties à un nom, à une définition commune, on dit quelquefois que ce sont des valeurs d’une même variable; si ces quantités, rangées par ordre de grandeur, vont en croissant ou en décroissant, mais sans dépasser, ni même atteindre une certaine valeur déterminée dont elles peuvent s’approcher d’aussi près qu’on veut, on dit que les valeurs de celte variable ont pour limite celte valeur déterminée.

Il arrive ainsi que les démonstrations roulent sur plusieurs espèces de grandeurs : 1° les unes sont données et déterminées par la nature meme de la question; 2° d’autres sont arbitraires et peuvent être rendues aussi petites qu’on veut, ou peuvent être remplacées chacune d’une infinité de manières par d’autres aussi petites qu’on veut; 3° d’autres enfin se composent d’une combinaison par addition ou soustraction d’une grandeur de la première espèce avec une grandeur de la seconde.

Les grandeurs de la première espèce ne changeant pas dans le même raisonnement, on les appellera des grandeurs invariables finies. Celles de la seconde et de la troisième sont variables. Mais celles de la seconde sont infiniment petites, leur limite est zéro, tandis que celles de la troisième ont une limite différente de zéro; ôn peut les appeler des variables finies.

Des définitions et explications précédentes il suit que :

1° La somme ou la différence de deux infiniment petits est infiniment petite. Car pour rendre la somme de deux infiniment petits plus petite qu’une grandeur donnée, il suffit de rendre

chacun d’eux moindre que la moitié de cette grandeur. Il en est de même de la somme de trois, quatre, et en général d’un nombre donné d’infiniment petits. Quant à la différence de deux infiniment petits, elle est, en valeur absolue, moindre que le plus grand des deux; donoelle est infiniment petite.

2° Le produit d'une quantité Jinie par un injinimenl petit , ainsi que le produit de deux infiniment petits, est un infiniment petit. S’il s’agit par exemple du produit d’un infiniment petit par un nombre 100 , et si l’on demande de rendre ce produit plus petit qu’une quantité donnée, il suffira de rendre cet infiniment petit moindre que la centième partie de cette quantité donnée. Quant au produit de deux infiniment petits, la propriété est évidente.

3° Une même grandeur variable ne saurait avoir deux limites différentes. Car si la variable est comprise entre ses deux prétendues limites , en s’approchant de l’une elle s’éloigqe de l’autre. Si elle est plus petite que chacune des deux, la différence qui existera entre cette variable et la plus grande des deux limites sera toujours plus grande que la différence de ces deux Jimites ; donc elle ne saurait à la fois différer infiniment peu de chacune des deux. Il en sera de même, si cette variable est plus grande que chacune des deux limites.

4° Si a et b diffèrent infiniment peu de a et b1 ; 1“ la somme a-+-b différera infiniment peu de a'+b' ; 2° la différence a — b de a' — b', et 3“ le produit ab du produit a'b'. Car, 1°, a-\-b — (a’+ô1) est égal à a-{-b — a' — b' ou à a — a!-\-b — b’ ; or a — a!, b — b', sont, par hypothèse, infiniment petits; leur somme l’est donc; 2°, a — b — (a1 — b') est égal à (a — a!) — (b — b') , différence qui est aussi infiniment petite; 3° enfin ab — a'b’ sera infiniment petit, car soit a la différence entre a et fl celle de b et b\ de sorte que a — d-\-a, b — b'-yfl ; on aura ab = a'b'-{*a'fl-{-b'a+af}; on voit donc que la différence entre ab et a'b’, se composant des trois infiniment petits a! fl , b'a, afl , est infiniment petite.