Les nombres k seront appelés caractéristiques

7. — On peut calculer méthodiquement et rapidement les valeurs des caractéristiques k qui correspondent aux 480 progressions arithmétiques du système de base aSio, en enirployant la formule suivante :

obtenue après avoir remplacé, dans Téquation (i), K et M par k et par m, D par sa forme 23io K' + F.

La formule (3) donne le nombre k quand la valeur de m est telle que le binôme l'm — I soit divisible par 2 3io.

Le Lecteur trouvera Texplication détaillée des calculs dans deux Mémoires dont les titres sont à la fin de l'Introduction. Je cite de cette explication le théorème suivant :

Les 480 progressions arithmétiques du système de base 2 3io étant rangées dans V ordre croissant des indicateurs I de leurs termes, la somme des nombres k relatifs à deux progressions équidistantes des extrêmes est égale à D — i.

Construction et Disposition

de la Table ci-jointe de caractéristiques

relatives à la base S 3 10.

8. — Soit un nombre N non divisible par 2, 3, 5, j ou ii, et pouvant par suite être écrit sous la forme 23io K -j- 1. Les indicateurs I sont les 480 valeurs inscrites dans les premières bandes horizontales de la Table ci-jointe, de i à 2809.

Lorsque toutes les valeurs données à K sont inférieures au diviseur i3, qui égale le second indicateur, la valeur limite de N est 23io (i3 — i) + 2 Sog ou 3o 029. En extrayant la racine carrée de 80029, on voit que 1^3 est le plus grand des diviseurs premiers qu'il faut employer pour reconnaître si N est premier ou non.

9. — Pour construire une Table de caractéristiques relatives à la base 2810 pour les nombres inférieurs à 3oo3o, on s'arrête au diviseur premier 178 et on ne tient compte que des nombres k inférieurs à 12.

D'après un théorème précédent (art. 7), il suffit de considérer, comme multiplicateur m d'un diviseur D égal à F, les 240 premiers indicateurs de i à 1 153.

En multipliant le diviseur i par tous les indicateurs de I à 1 153, on obtient 2.240 — i valeurs nulles de k; les 240 qui correspondent au diviseur i ne seront pas inscrites; sur les 240 : — I qui correspondent aux multiplicateurs m de i3 à 1 153, il n'y aura lieu d'inscrire que celles qui correspondent aux diviseurs de i3 à 173. Après avoir multiplié i3 par tous le^ indicateurs de i3 à 1 153, on obtient les valeurs correspondantes de k au moyen du premier terme de la formule (3). On continue ainsi pour les diviseurs 17, 19, 23,...., en faisant commencer la suite des indicateurs au diviseur considéré. A partir du diviseur 29, on n'est plus obligé d'aller jusqu'au multiplicateur 1 153 : on s'arrête au multiplicateur qui précède celui auquel correspond un produit Dm supérieur à 3oo3o.

10. — La Table ci-jointe de caractéristiques relatives à la base 23io, pour les nombres inférieurs à 3oo3o, est disposée comme il suit.

Sur la première bande horizontale, sont écrits les 240 premiers indicateurs I; sur la seconde bande horizontale, sont écrits leurs compléments. De sorte que, pour lire les indi-

-locateurs dans leur ordre croissant, il faut parcourir la première bande de gauche à droite de i jusqu'à t i53, puis, la seconde bande de droite à gauche de i iS^ jusqu'à 2809.

Dans une bande verticale, sont écrits les 35 indicateurs premiers de i3 à i^3.

Dans toutes les autres bandes verticales, les caractéristiques relatives à un indicateur I et à un diviseur D, sont écrites à l'intersection de la bande verticale qui porte I en tête et de la bande horizontale où se trouve le diviseur D ; il est important de remarquer que chaque bande verticale des indicateurs est divisée en deux colonnes verticales : les caractéristiques formant, dans une bande, la colonne à gauche de l'observateur correspondent aux indicateurs de la première bande horizontale, tandis que les caractéristiques formant, dans la même bande, la colonne à droite de l'observateur correspondent aux indicateurs de la seconde bande horizontale»

11. — Les facteurs premiers des indicateurs ont o pour caractéristiques.

Deux caractéristiques situées côte à côte, dans les deux colonnes d'une même bande verticale, ont une somme égale à l'excès sur i du diviseur qui se trouve dans la bande horizontale contenant ces deux caractéristiques.

Il était inutile d'inscrire les caractéristiques supérieures à 12.

12. — Les 4B0 indicateurs de la Table ci-jointe comprennent les 338 nombres premiers de i3 à 23io.

Cette Table permet de trouver, de i à 12, les valeurs de K relatives aux nombres premiers ayant les 480 formes déterminées par les 480 indicateurs : ces valeurs de K sont les nombres qui, de i à la, ne se trouvent pas dans les 960 colonnes de la Table.

On peut donc former les nombres premiers qui correspondent à ces valeurs de K, ainsi que compter avec la Table le nombre des nombres premiers compris entre aSio et 3oo3o, sans même avoir les valeurs de ces nombres.

Entre a3io et 3oo3o, il y a 5760 nombres de la forme 23io K -}-I et parmi eux 2906 nonibres premiers.

Usage de la Table ci-jointe de caractéristiques relatives à la base 2 310.