SOMMATION DES LOGARITHMES

Les formules qui suivent, sei*vent à calculer très-rapidement la somme d'un grand nombre de logarithmes.

Les Nombres de Bemoulli, qui entrent comme facteurs dans ces formules, jouent conjointement avec les deui nombres analytiques

e base des logarithmes naturels, et TT rapport de la circonférence au diamètre, un rôle très-important dans toute Tanaiyse.

En effet, ils se présentent dans un grand nombre de développements en séries, dans les formules logarithmiques et trigonométrie ques, dans la sommation des séries algébriques ou transcendantes, dans le développement des intégrales définies et des intégrales aux différences finies.

Ils sont les coefficients de x dans les sommes des puissances paires des nombres naturels, depuis i jusqu'à x; par exemple :

. I «2 , o2 , . Jt X^ X^ X

9 a . o 10 9 DO

En désignant par 3, 0, C, )D, les nombres de BernouUi,

par H, n, n.. . les coefficients du binôme de Newton, de manière que

f 1 + a V= 1 + wa + fia^ + na' +

et en posant successivement n= 2, ^t 6, 8 . • . , on trouve facilement la valeur numérique des nombres de Bemoulli , au moyen de Téquation

=i3in — i« n+^i^n^l^n-\

Ces nombres sont tous rationnels, positifs et fractionnaires; voici les douze premiers:

m — JL # — A ^ — Ë£i2 ^ 8545^3 *'~3o ^~66 ^"" 5io *"" i38

( Comptes rendus de l Académie des sciences, 1 4 mal 1 860. ) -

SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES EN PROGRESSION ARITHMETIQUE. {Comptes rendus de ÏActuiémie des sciences, 9 novembre i863 '.}

S=loga + log(a+«) + log(a+26)) + . . . + log{a+na)) Soit b=[a+n(t)); et soit k le module des logarithmes, on aura:

S=i(61og6-«loga)-„*+-M«g«6-2iï(î l)+«^'(J.-^)

€ka* / I 1 \ ,

ouS=ilog6-Moga-«A+llog.6-^; + ^:(±^ >,)--•••

Ex, 2 1 • Déterminer la somme des i oo i logarithmes

log 17000+log 1 7003 +log 17006 + . . . + log 20000 0=17000 ^log 6 = 28673, 53330.442655

6 = 20000 — g-loga = 23972, 54388*78io22

jiw= 3ooo — wi=— 434» 29448.190325

(0= 3 +iloga6= 4i 26573.945852

lîz= 1000 •— ^^ = —95800

1 36oooo

S zz 4270, 96067.321360 "

Ex. 22. Déterminer la somme des 1 1 o i logarithmes log 17000+log 17002 — hlog 17005 — h . . . +log 20000 n« = 3ooo • 31540,88663.486920

n=iioo — 477,72393.009358

* Le cadre restreint de cet ouvrage De m^a pas permis de donner ici le développement des formules générales de la sommation des séries, mais j ai toujours indiqué les comptes rendus de TAcadémie dès sciences où l'on peut trouver ces développements.