NOTIONS PRÉLIMINAIRES

On nomme logarithmes, des nombres en progression arithmétique commençant par iéro, qui correspondent terme pour terme à des nombres en progression géométrique commençant par ïunité. Ainsi les deux progressions

i q q^ q^ q* q^ q« g' q* (f,,. q»,., o d 2d 3d kd bd èd 7d Zd 9(i... nd...

dans lesquelles g et d sont deux nombres quelconques, forment un système de logarithmes.

Si on multiplie deux termes de la première progression et si on ajoute les termes correspondants de la seconde, on obtient des termes qui se correspondent encore ; ainsi

ç<xq* = 9* et 4d+5d = 9d;

donc le logarithme du produit de deux termes de la progression géométrique est égal à la somme des logarithmes des facteurs. Cette propriété serait stérile, si elle ne s'appliquait qu'aux termes de la progression géométrique ; mais en prenant g > d, on conçoit que si l'excès de la raison q sur l'unité diminue de plus en plus, les termes de la progression géométrique croîtront par degrés aussi rapprochés qu'on voudra; donc un nombre a plus grand que i est toujours compris entre deux termes qui différent d'une quantité moindre que toute quantité donnée, et on peut prendre sans erreur sensible un

de ces termes pour le nombre a. Donc le logarithme du produit de deux nombres quelconques a et 6 plus grands que i est égal à la somme des logarithmes de ces deux ncmbres; de sorte qu'une multiplication se réduit à une addition. On en conclut aisément qu'une division se ramène à une soustraction, une formation de puissance à une multiplication, et une extraction de racine à une division.

Le choix des deux progressions étant tout à fait arbitraire^ il y a une infinité de systèmes de logarithmes. Dans chaque

système, on nomme base le nombre qui a pour logarithme l'unité. Coiisidérons les deux progressions

or 2r 3r Ur ... nr

dans lesquelles r est une quantité très petite, afin que les termes des deux progressions croissent par degrés très petits. Soit n r* le terme de la progression arithmétique qui est égal

à Tunité, la base sera (i 4- r)* ; ornr = i j donc r= - et la

base (1 + r)»=: (* ^M**

ni n(n — 4)4 . n {n — 4) (n — 2) 4 , 'in' 4.2 n* ' 4.2.3 n*

Lorsque r tend vers zéro, n tend vers l'infini ', en désignant^ selon l'usage, la limite par e, on a

^''^ * +ï ■*"r:i+ 4Tr3+ 7X374 "^^ ••

Si on prend dans la série un nombre suffisant de termes, on trouve

Les logarithmes de ce système se nomment naturels ou hyperboliques, parce qu'ils se présentent naturellement dans l'analyse mathématique, et qu'ils expriment une propriété de Vhyperbole équilatère : cette courbe étant rapportée à ses asymptotes, si l'abscisse et l'ordonnée d'un des sommets sont prises pour unité, la surface comprise d'une part entre l'hyperbole et l'axe des abscisses, d'autre part entre l'ordonnée du sommet et l'ordonnée dont Tabscisse est œ, est le logarithme naturel de x.

Ibk DISPOSITION ET USAGE DES TABLES.

Les logarithmes de Néper ne sont pas identiques aux logarithmes naturels ou hyperboliques ; cependant on donne aussi le nom de népériens aux logarithmes naturels^ afin d'attacher à llnrention le nom de Pinventeur.

Dans le système de Briggs, la base est lo ; ce système offre un avantage, c'est que pour avoir un logarithme du produit ou du quotient d'un nombre par 40,100,1000,... il suffit d'augmenter ou de diminuer le logarithme de ce nombre de 1 ,2,3, . . . unités.