DEUXIÈME PROBLÈME

Trouver Varc correspondant au logarithme donné d'un sinus, dune tangente j d^un cosinus ou d'une cotangente.

Premier cas. Le logarithme se trouve dans la table. Il faut observer d'abord qu'on a

log sin 45* = log cos 45*=î, 84949 et logtaDg45«=logcot45«=:o

Supposons maintenant qu'on donne le logarithme d'un sinus. S'il est inférieur à T ,84949, Tare correspondant est plus petit que 45® et il faut chercher le logarithme dans les colonnes intitulées Sin du haut. Le nombre de degrés de l'arc se trouvera en haut de la page hors du cadre et le nombre de minutes dans la première colonne à gauche, sur la même ligne horizontale que le logarithme donné. Si le logarithme est supérieur à 7,84949, l'arc correspondant est plus grand que 45* et il faut chercher le logarithme dans les colonnes intitulées Sin du bas, le nombre de degrés de l'arc se trouvera au bas de la page hors du cadre et le nombre de minutes dans la première colonne à droite sur la même ligne horizontale que le logarithme donné.

Exemple. Trouver Tare dont le log sinus est 7,76236. Comme ce logarithme est inférieur à T, 84949, l'arc correspondant est inférieur à k^; on en cherche d'abord les deux premiers chiffres î,7 dans les colonnes intitulées Sin du haut, puis les quatre autres chiffres 6236. On lit 21' dans la première

colonne à gauche sur la même ligne horizontale que 6286 et on lit 35® en haut de la page, donc Tare cherché égale 35*^2!'.

Suivant que le logarithme d'un cosinus est plus grand ou plus petit queT,84949,l'arc correspondant est plus petit ou plus grand que 45® ; pour avoir cet arc on cherche le logarithme dans les colonnes intitulées Cos du haut ou du has.

Enûn, quand on donne le logarithme d'une tangente, pour avoir l'arc correspondant il faut chercher le logarithme dans les colonnes intitulées Tang du haut ou du bas, suivant qu'il est plus petit ou plus grand que o ; et quand on donne le logarithme d'une cotangente, il faut au contraire le chercher dans les colonnes intitulées Cotg du haut ou du bas, suivant qu'il est plus grand ou plus petit que o.

Deuxième cas. Le logarithme ne se trouve pas dans la table.

Premier exemple. Trouver l'arc dont le logarithme du sinus est r,8i5io. On cherche, comme au premier cas, le logarithme qui en approche le plus en moins; on trouve 7,8i5o5 qui correspond à l'arc de 40® 4?'' En retranchant ce logarithme du logarithme proposé et du logarithme suivant de la table, on a les différences 5 et 44. Si la différence 44 correspond à 1' ou 60''

de différence entre les arcs, 1 correspond à — de 60'' et 5 à

— de 60" ou 21" i donc l'arc cherché égale 4o® 47' 24". La table

des parties proportionnelles placée au-dessous de 44 permet

d'éviter la multiplication de 60 par — • La différence 5 étant

plus grande que 2 ,40 qui correspond à 9'', on cherche dans cette table o ,5o ou le nombre qui en approche le plus en moins. On trouve 0,47 qui correspond à 2", donc 4,70 correspond à 20" et il reste o,3o. Pour o,23 il faut ajouter 4" à l'arc, donc pour o,3oil faut aussi y ajouter à très peu près 4", de sorte que l'augmentation pour ô unités du ô« ordre est 24".

Disposition du calcul :

logsin 07 = 4,84540

pour 4,84 5o5 • 40^47' (diff.44)

différence. 5 p our 24^

On trouve de môme que Tare dont le logarithme de la tangente est 0,98765 égale 84® 7' 33".

Deuocième exemple. Trouver l'arc dont le logarithme du cosinus est T, 27235.

Quand le cosinus augmente, Tare diminue. Pour avoir une addition à faire à l'arc trouvé dans la table, on cherche le logarithme immédiatement supérieur au logarithme donné. On trouve 1,27273 qui correspond à l'arc de 79^12'. En retranchant de ce logarithme le logarithme proposé et le logarithme suivant de la table, on a les différences 38 et 67. Si la différence 67 correspond à l' ou 60" de dififérence entre les arcs, t corres-

pond à ^ de 60" et 38 à ~ de 60" ou 34". On peut aussi, au

moyen de la table des parties proportionnelles placée au-dessous de 67, déterminer l'augmentation d'arc pour 38 unités du 5* ordre décimal. Gete différence 38 étant supérieure à 40 ,o5 qui correspond à 9'', on cherche 3, 80 ou le nombre qui en approche le plus en moins; on trouve 3,35 qui correspondent à 3", donc 33, 5o correspondent à 30" et il reste 4,5o qui correspondent très-sensiblement à k" ] donc l'augmentation d'arc est 34".

Disposition du calcul :

logcosa?=î, 27235

pour î , 27273 79® 1 2' (diff. 67)

différence. 38* pour 34"

On trouve de même que l'arc dont le logarithme de la cotangente est 1,75328 égale 60^27' 5o".

Dans le cas particulier où l'on cherche le log sinus ou le log tangente d'un petit arc, on doit avoir recours aux logarithmes marqués S et T. inscrits au haut de la table I et au bas des pages de la table II. Ce sont les logarithmes des rapports des sinus et des tangentes des petits arcs à ces arcs. Ils servent à calculer à une unité près du 5" ordre décimal les logarithmes sinus et les logarithmes tangentes pour lesquels on ne peut admettre la proportionnalité des différences.

Pour trouver à l'aide de ces nombres les logarithmes sinus et les logarithmes tangentes, on ajoute au logarithme de l'arc évalué en secondes, le nombre S ou T exprimé au bas de la page, nombre dont les premiers chiffres sont toujours 6,685.

Exemple, Trouver le logarithme sinus de 8", 86.

On trouve, page 28, log 8,86 = 0,9/1743

et page 1, de o à 1000", S = 6,68667

on fait la somme et l'on a log sin 8^,86 = 5 ,633oo

On trouve de même log tang 67' 4o" = 2,22470

On a calculé les valeurs de S et de T jusqu'à 9900" qui valent 2® 45', bien qu'à partir de 2<>i2' les parties proportionnelles des différences de la table IX ne donnent pas une unité d'erreur du 5* ordre décimal.

Réciproquement, si Ton donne le logarithme sinus ou le logarithme tangente d'un arc inférieur à 2*12', on prend d'abord dans la table IX l'arc correspondant en minutes entières, puis on cherche la valeur correspondante de S ou de T qu'on retranche du logarithme donné ; le reste est le logarithme de l'arc cherché exprimé en secondes.

Exemple. Trouver l'arc dont le logarithme sinus = 5 ,44096. On reconnaît d'abord au moyen de la table des sinus, page 38, que l'arc est compris entre 9' et 10'; puis on voit, page 4, que, de oà 1000", 8 = 6,68557. On retranche ce logarithme du logarithme donné, le reste 2,75689 est le logarithme de l'arc cherché x exprimé en secondes. On trouve x=. 669", 36 = 9' 29", 36. On peut disposer ainsi le calcul :

log sin a? = 3 . 44096 arc 9'

logœ =2,75539 »= 569", 36 = 9' 29", 36

On trouve de même que l'arc dont le logarithme tangente = 2,34780 est i« 4 6' 33'', 6.

Le cosinus et la cotangente d'un angle étant le sinus et la tangente de son complément, le calcul du logarithme cosinus et du logarithme cotangente d'un arc compris entre 90® et 87® 48' est le même que le calcul du logarithme sinus et du logarithme tangente d'un arc compris de o à 2<*42'.