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Rectangle MNQS= 4 CD
300 OOO
Sur la figure de la planche E , qui a été construite à l’échelle de pour les cotes sur l’axe (ordonnées), et de pour les inclinaisons du terrain naturel (abscisses) , d’après les données numériques précédentes, on a indiqué par des chiffres les portions de la figure qui correspondent aux 9 systèmes de formules.
Remarquons en passant que le système des formules (6)
NOTES
ne sera point applicable toutes les fois que p dépassera une certaine limite, quelle que soit la valeur de d, car l’abscisse p du point de rencontre des deux droites OK, G H, est donnée par la relation p = p t ; et il est clair, d’après la figure , qu’à toute valeur plus grande de p il ne peut correspondre aucune valeur de d qui satisfasse à la fois aux deux inégalités d < l p et d h > (l -f- f) p. Si l’on fait /' = / -f- /, et / = h , ce qui est le cas le plus ordinaire, on aura p =
En comparant, sur la figure, les différentes superficies qui correspondent aux 9 systèmes de formules, on est conduit immédiatement à cette conséquence que, si l’on regarde comme également possibles toutes les cotes sur l’axe et toutes les inclinaisons du terrain naturel, les rapports de ces superficies à l’aire 4 C D du rectangle M N Q S représentent les probabilités de tomber sur le système de formules auquel elles se rattachent par les conditions d’inégalité qui ont déterminé leurs limites. Dans la pratique, toutes les cotes de déblai et de remblai, toutes les pentes et rampes du terrain naturel ne sont pas également possibles , et ce serait un renseignement fort curieux de statistique topographique que celui qui ferait connaître les nombres que l’expérience donne pour ces possibilités respectives, dans un pays déterminé, avec la même pente en long maximum. Si donc on imagine que , par chacun des points de l’intérieur du rectangle MNQS, on élève à son plan une perpendiculaire proportionnelle au nombre de fois où l’expérience a fait rencontrer le système de coordonnées qui déterminent ce point, le lieu géométrique des
NOTES
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extrémités de ces perpendiculaires formera une surface courbe à 4 nappes principales , et les probabilités respectives de tomber sur tel ou tel système de formules seront égales aux rapports des solides terminés à leur partie supérieure par cette surface, à leur partie inférieure par le plan horizontal des C D , et latéralement par des plans verticaux élevés sur les droites du contour polygonal relatives à ce système de formules.
Ces résultats peuvent s’exprimer analytiquement avec la plus grande simplicité. En effet, en désignant par
m 0 , wij » wiji Wj, etc.
Les nombres de fois où l’on a rencontré les inclinaisons c 0 , Cj i Cg, Cj, etc.,
les probabilités respectives de ces inclinaisons seront
2 m représentant, pour abréger, la somme de toutes les quantités m 0 , m,. n; 5 , etc.,
De même . r-, f-' ï 1 ’ etc.,
représentent les probabilités de rencontrer respectivement les cotes
do» du dg, dj, etc.
Par conséquent ^ sera la probabilité de tomber sur le système de coordonnées c, , (l g \ c’est l’expression générale de l’ordonnée de la surface courbe dont nous venons de parler.
NOTES
xlvjj
En supposant les quantités m 0 , m lt m 2 , et n 0) n, , n a , réunies par la loi de continuité, ce qui sera évidemment vrai si l'on considère séparément chacune des 4 nappes de la surface courbe, et en représentant par
z = F (c) et z = f[d)
les lois de ces deux suites, les volumes compris entre l’une des nappes de la surface courbe, le plan horizontal, et les plans verticaux passant par les droites tracées sur ce plan comme limites des systèmes d’inégalité, auront évidemment pour expression une intégrale double de la forme :
/ F{c)fc f/m
( S étant ici le signe de la différentiation ).
Les limites de l’intégrale seront facilement indiquées par la figure , dans chaque cas particulier; et le rapport entre cette intégrale et l'intégrale relative à toute la surface représentera la probabilité de tomber sur le système de formules correspondant.
Cette liaison remarquable entre le calcul des conditions d’inégalité, le calcul des probabilités et le calcul des intégrales définies, avait déjà été exposée, avec ces développements, dans un mémoire présenté, le 2 5 décembre 1 835 , à M. le conseiller d’Etat directeur général des ponts et chaussées et des mines. Depuis , on a reconnu qu’elle avait été traitée en 1 82 3 par feu Fourrier, avec l’originalité qui caractérise toutes les productions de ce célèbre académicien. (dna/yse des travaux de F Académie, pendant Fannée 182.3, partie mathématique.) Les personnes que ces
NOTES
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rapprochements et le calcul des inégalités, si négligé dans les éléments, pourraient intéresser, devront consulter, outre la source que nous venons de citer , le Bulletin des sciences de la Société Philomatique ( mai et juin i 8 a 5 ), le Bulletin Férussac (partie mathématique, juillet 1826), et enfin les Annales de mathématiques, de M. Gergonne (t. II, XIV et XVII). On verra, dans ce dernier recueil, que, dès la fin de 181 1, le savant professeur de Montpellier avait signalé l’existence de cette nouvelle branche d’analyse.
TABLE I
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