SCR LES LIMITES ENTRE LESQUELLES LES FORMULES DOIVENT ETRE

employées; sur la représentation géométrique des inégalités,

ET SUR LA LIAISON QUI EXISTE ENTRE CERTAINS SYSTÈMES D INÉGA- LITÉ, LE CALCUL DES PROBABILITÉS ET LE CALCUL INTEGRAL.

Les relations d’inégalité renfermées dans la troisième colonne du tableau A expriment les limites entre lesquelles les différentes formules de ce tableau doivent être employées. Tant qu’il s’agit de calculer des profils isolés, on peut se contenter de la substitution directe des éléments variables d ou r et c ou p dans ces relations; mais, lorsque l’on entreprend le calcul d’une table complète, pour un profil de route déterminé, il est nécessaire de connaître à priori les limites auxquelles on doit s’arrêter dans l’usage de chaque formule, et le nombre de cas quelle doit servir à calculer : c’est à quoi l’on parvient par

NOTES

des considérations géométriques de la plus grande sim-

Remarquons, en effet, qu’une équation a deux variables : F (ar, y) — o représentant une courbe plane, pour tous les points du plan de cette courbe qui ne sont pas situés sur la courbe môme, on aura l’inégalité F (a?, y) ^ o,et la courbe séparera les différentes régions du plan qui se rapportent aux deux inégalités F (x, y) < o, F (x, y) > o. Si donc on a une suite d’inégalités linéaires à deux variables , /o(*.y) $ °,/i [*.y) I $ o, etc., en construi-

sant sur un plan les courbes représentées par les équations fo ( x ’ y) = °>/i (*• y) = °>fi ( x < 7) = ° , on pourra facilement déterminer la portion du plan, limitée par un contour polygonal curviligne, dans l’intérieur ou à l’extérieur de laquelle tous les points satisferont par leurs coordonnées au système d’inégalités proposées.

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les inégalités ne renfermant les deux variables d ou r, c ou p, qu’à la première puissance, de simples lignes droites limiteront les diverses portions du plan qui se rapportent à chaque système de formules. Prenons deux axes rectangulaires O c, Od (planche E), sur lesquelles nous compterons respectivement les rampes c et les déblais d, et sur les prolongements Op.Or, desquels nous compterons les pentes p et les remblais r. Les droites OE, FG, OK, GH, GF seront respectivement représentées par les équations r = le, r= l'e + h, d= Ip, d+ h — [l'+f) p, r 4- ( !'+/) p = h. Si , d’un autre côté , C et D représentent les valeurs extrêmes que l’on veut donner à c ou à p et à d ou à r dans les tables, le rectangle MNQS, dans lequel MN = 2 C

NOTES

xliij

et MS = 2 D, achèvera de limiter la portion du plan dans laquelle se trouvent tous les points dont les coordonnées représentent les deux éléments variables qui entrent dans chaque formule. Par exemple, à tous les points renfermés dans le rectangle OAMB correspondent deux coordonnées qui servent au calcul des formules (1); à tous les points du quadrilatère O F L E, pour lesquels on a r> l c , r < i c+h, correspondent deux coordonnées qui servent au calcul des formules ( 3 ), et ainsi pour les autres parties de la figure *.

Il s'ensuit donc que le rapport des nombres de cas calculés par deux systèmes de formules est le même que le rapport des superficies des deux figures correspondant à ces formules; d’où il est facile de conclure le nombre absolu de cas embrassés par chaque formule, lorsque l’on détermine d’avance le nombre total des cas que l’on doit calculer, ou tout simplement D et C. Les résultats de ces calculs ont été réunis dans le tableau suivant, dans lequel on a placé les nombres particuliers qui concernent le profil d’une route de i o mètres de largeur avec fossés de i m . 5 o, de sorte que 1 = 5 m , 1 = 5 “. 5 o, /"= 6 “. 5 o ,/= h = o. 5 o. On prend d’ailleurs C = o. 5 oo, D = 10.00, et l’on suppose que les cotes sur l’axe varient de 0.02 en 0.02 , les inclinaisons du terrain naturel variant de o.oo 5 en o.oo 5 , ce qui donne 200000 pour le nombre total des cas particuliers compris dans la table.

On ne s’arrêtera pas ici à faire remarquer l’avantage que présenterait l’emploi d’un procédé graphique, fondé sur la construction de la figure de la planche E, pour déterminer, sans faire le calcul des inégalités du tableau A, quel est le système de formules il appliquer dans chaque cas particulier.

xljv

NOTES