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ti. 333
Le petit nombre des éléments des formules conduit à l'idée de réduire en tables toutes les valeurs de ces éléments.
9. Il est important de remarquer que le nombre des éléments variables qui entrent dans les formules gé-
USAGE
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nérales, est très- peu considérable; ces éléments sont: y\(lt±y)*,(l( ±y)\(f t±y)\ pour les numérateurs, et
a x, a( f zfz x ), 2 ( t ' dz x)
pour les dénominateurs des superficies de déblai et de remblai , y représentant la cote de déblai ou de remblai sur l’axe, et x l’inclinaison du terrain naturel en pente ou en rampe.
Les numérateurs des largeurs prises par la route sont :
lt'±y, l"t±y
Et les dénominateurs :
< zt x, t'dzx.
On conçoit donc l’avantage qu’il y aurait à se servir de tables ov’i toutes les valeurs de ces éléments se trouveraient renfermées, de sorte que, pour le calcul d’une expression fractionnaire, telle que (où A et B sont
des nombres constants déterminés d’avance), on n’aurait plus qu’une division à opérer, et que l’on se trouverait dispensé des additions ou soustractions indiquées dans les deux termes, de l’élévation au carré du numérateur, et de la multiplication par 2 du dénominateur.
Les nouvelles tables que l’on présente ici simplifient encore bien plus le calcul ; car il suffit d’ajouter le nombre qui , dans la table I , correspond au numérateur, avec le nombre qui, dans la table II, correspond au dénominateur, et de chercher, dans les tables ordinaires de logarithmes, le nombre correspondant à la somme obtenue, pour avoir
DES TABLES
la valeur exacte de l’expression fractionnaire cherchée. C’est ce qui va être expliqué en détail.
Manière de chercher dans les nouvelles tables.
10. Pour avoir le nombre correspondant à un numérateur tel que (Adry) 4 , ou (Adiy), on observera d’abord que la partie constante A doit se trouver parmi les nombres 1.00, i. 33 , i. 5 o, 1.67, etc., qui occupent la première ligne horizontale et la droite de la table I. On cherchera, dans les différentes pages de cette table, celle où la cote variable y, avec son signe , se trouve dans la colonne verticale qui commence par A; puis on suivra la ligne horizontale sur laquelle est posée cette cote, jusqu’à la rencontre de la colonne verticale intitulée Log y 4 pour (Adry) 4 , ou de la colonne Log ay pour (Adz y), dans laquelle on trouvera le nombre cherché. Les signes 4- et — , placés en haut et en bas des colonnes verticales qui renferment les éléments variables, s’appliquent à tous les nombres qui sont immédiatement au-dessous ou au-dessus, sauf les changements de signe toujours indiqués par une forte ligne horizontale qui sépare les nombres affectés du signe -+- des nombres affectés du signe — .
Exemple : on demande le nombre correspondant à (i .33 — 0.2 1) 4 . A la page 4 de la table I, on descendra jusqu’au nombre 0.2 1, dans la colonne verticale qui commence par i.33, et en haut de laquelle se trouve le signe — ; le nombre 0.0984360, placé sur la même ligne horizontale que 0.21, et dans la colonne verticale
USAGE
intitulée Log y 2 , sera le nombre cherché. On aurait eu o. 35 oa 48 o pour 1 .33 — 0.21.
Souvent il sera commode de remonter au lieu de descendre dans une colonne verticale.
Exemple : on demande les nombres correspondant à (2.67-+-0.19) 2 et à (2.67 + 0.19).
Au bas de la page 6 de la table I, on trouve 2.67, et, immédiatement au-dessus, le signe +. On remontera la colonne verticale jusqu’à ce que l’on trouve 0.19. Les nombres 0.912732 1 et 0.7573960, qui se trouvent sur la même ligne horizontale que 0.19 et dans les colonnes verticales Log y 2 , Log 2 y, sont ceux qui correspondent à (2.67+0. 1 g) 2 et à (2.67+0.19).
Lorsqu’il s’agira d’obtenir les nombres correspondant à y ou à y 2 , on cherchera y dans la première colonne verticale à gauche, et on achèvera comme ci-dessus. On trouvera ainsi, à la page 22, les nombres 1.3384565 et 2 .o74853o correspondant à 10.90 et à 10. 90 2 .
1 1 . L’usage de la table II est aussi facile. Lorsque l’on a un dénominateur tel que 2 (B rfcx), on cherche d'abord x dans la première colonne verticale à gauche; on suit la ligne horizontale qui commence par x jusqu’à la rencontre de la colonne verticale qui est intitulée Log ; le nombre placé dans cette colonne est le nombre cherché.
Exemple : on demande le nombre correspondant au dénominateur 2 (A — o. 4 ii). On trouvera o. 4 i 1 dans la première colonne verticale de la page 4o : on suivra la colonne horizontale qui commence par ce nombre
DES TABLES
jusqu’à la rencontre de la colonne Log - j,-L et o. 3916791 est le nombre cherché.
Pour le dénominateur 2 (10 — 0.676), on trouverait, à la page 4 a, .7347347. Le signe — , mis au-dessus de 2, signiGe que 2 seul doit être retranché, et que la partie décimale 0.7247347 doit être ajoutée.
D’après la manière dont la colonne intitulée Log 2 y a été calculée dans la table I, on devra prendre, dans la table II , la même valeur pour le dénominateur B dr x que pour 2 (Brfcx), lorsqu’il s’agit d’obtenir la valeur de A dty hdzx
1 2. Il faut observer que, dans la table I, la cote sur l’axe y ne croît que de 2 en 2 centimètres, quoiqu’elle soit donnée dans le projet à 1 centimètre près. De même, dans la table II, l'inclinaison du terrain naturel ne varie que de 3 en 3 millièmes, quoiqu’elle soit donnée à 1 millième près. L’erreur commise sera toujours très-faible, en prenant, pour chaque élément, la valeur qui s’en rapproche le plus dans les tables. Souvent même on pourra diminuer cette erreur, en augmentant ou en diminuant à la fois le numérateur et le dénominateur.
Soit, par exemple,
La valeur de x = o .233 ne se trouve pas dans la table II; celle qui s’en rapproche le plus est 0 . 234 , qui est trop grande, et qui rend le dénominateur trop petit. Comme 5.27 ne se trouve pas non plus dans la colonne verticale qui commence par 7.50 dans la table I, on prendra le plus petit nombre approché, 5.26, et on cher-
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chera les valeurs correspondant aux éléments (7.60-1-5.26)* et a ( 1 — o.a 34 ), comme on l’a expliqué précédemment.
i 3 . Lorsque l’on a trouvé séparément les deux nombres correspondant aux deux termes d’une fraction, on a déjà dit (9) qu’en les ajoutant, on a le logarithme de la valeur de cette fraction. L’addition n’olfrira pas de difficulté, la caractéristique ou partie entière des nombres donnés par les tables pouvant seule être négative et, quant à la recherche d’un nombre correspondant à un logarithme donné , elle pourra être faite par les personnes les moins familiarisées avec l'usage des tables, à cause de l’uniformité du procédé à suivre pour tous les calculs. Passons aux exemples :
On demande la valeur de et de
La table I donne , dans les
colonnes Log y 1 et Log a y.
les nombres i. 8 a 338 o 3 et 1.2 1 27202.
auxquels, ajoutant les nombres fournis par la table II,
pour les dénominateurs .... 1 .3844708 et 1 .3844708.
on a pour sommes 1.2078511 et 0.697 19 10.
Les nombres correspondant à ces logarithmes sont, dans
On appelle nigatif un nombre affecté du signe — , et potitif un nombre affecté du signe -K Tout nombre qui n’est précédé d’aucun signe est positif, parce que l’on a sous-entendu le signe
DES TABLES
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les tables de Gallet 1 6.1 38 et 3 . 9554 -
et dans les petites tables de Lalande, sans que l’on ait besoin de chercher les parties
proportionnelles 16.1 4 et 3-955.
Ainsi les tables de Callet donneront toujours la valeur tle la fraction au moins à 0.00 1 près, et les petites tables la donneront à 0.0 1 près.
Vérification importante dans l'usage des tables.
1 4 - L’usage des tables admet une vérification importante et très-commode , qui dispense de faire deux fois les additions nécessaires pour calculer les valeurs de el V°‘ c * en quoi elle consiste :
De la somme obtenue par l’addition du nombre de la colonne Log y 2 avec le nombre Log » on retran-
chera le nombre de la table I, qui se trouve sur la même ligne horizontale que la cote variable sur l’axe, et dans la colonne verticale intitulée Log ÿy. Le reste devra être égal à la somme que l’on a obtenue quand on a cherché le nombre correspondant à
Ainsi, dans l’exemple précédent, sur la même ligne horizontale que i. 8 a 338 o 3 et dans la colonne verticale L°g t y- on trouve 0.6 10660a ; si on retranche ce dernier nombre de la somme 1.3078511, obtenue précédemment, on trouve pour reste 0.5971909, identique ( à une unité près du 7 e ordre décimal ) avec la somme 0.5971910.
USAGE
Les nouvelles tables sont construites de manière à dispenser de l'usage des tables de logarithmes.
i 5 . Mais l’utilité la plus grande, peut-être, et la propriété la plus remarquable des nouvelles tables, consistent en ce que , quand on voudra se passer des tables de logarithmes, ou que l’emploi simultané de deux volumes différents paraîtra embarrassant, la table I pourra parfaitement y suppléer de la manière suivante :
On cherchera, soit dans la colonne intitulée Log \y, soit dans la colonne voisine Log a y, le nombre le plus approché de la somme obtenue à l’aide des deux tables (n°* 10, 11 et 1 3 ) : le résultat cherché sera la moitié du nombre qui se trouve dans la colonne y sur la même ligne horizontale que celui auquel on s’est arrêté dans la colonne Log -J- y, ou le double de ce nombre de la colonne y, si l’on s’est arrêté dans la colonne Log a y.
En prenant le même exemple qu’au n° 1 3 , on trouvera que la somme î. 307851 1 est comprise entre les nombres i.ao 7365 o et i.ao 844 i 4 de la colonne Log a y à la page 18 de la table I, et que les valeurs correspondantes de y sont 8. 06 et 8. 08. La valeur de ( 5 -°°f~ 3 - ‘jl ost
donc comprise entre 16. 1 a et 16. 16; en prenant la moyenne, on trouve 16. i4, comme par les tailles de Lalande.
De même, la somme 0.5971910 est comprise entre les nombres 0.5965971 et o. 6976963 de la colonne Log \y, à la page 1 6; et les valeurs correspondantes de y sont 7. 90 et 7. 9a. La valeurde ' • est donc com-
DES TABLES
prise entre 3 . q 5 et 3 . 9O; et, en effet, on a trouvé 3 . g 55 par les tables de Lalande.
Il est facile de voir, d’après la nature même de ce procédé , et l’étendue de la table I , que tout nombre compris entre 0.01 et 8. 00 pourra être ainsi obtenu à moins de 0.01 près, par la colonne Logÿj',- que tout nombre compris entre 8.00 et 3 a. 00 sera calculé à moins de o. o4 près, et même à o. 02 près, à l’aide de la colonne Log a y, si l’on observe avec un peu d’attention quelle est celle des deux limites dont la somme donnée se rapproche le plus; enfin, que les nombres compris entre 3 a. o et 80. o seront donnés par la colonne Log^y à moins de o. i près, et que les nombres compris entre 80.0 et 3 ao. o seront donnés par la colonne Log a y à moins de o. 4 ou même de o. a près.
Or, dans un profil de route, la largeur prise de chaque côté de l’axe excède rarement 8 mètres, et la superficie de déblai ou de remblai brute , c’est-à-dire la valeur de la fraction n’excède aussi presque jamais 80 mètres
carrés. On peut donc regarder comme plus que suffisante pour l’usage ordinaire l’approximation donnée par les tables nouvelles , sans le secours d’aucune autre table.
On pourra toujours chercher dans la table I, même au delà de ces limites, le nombre correspondant à un logarithme donné, abstraction faite de la caractéristique ou partie entière de ce dernier, en se rappelant que le nombre des chiffres de la partie entière pour le nombre trouvé à l’aide de la table doit surpasser d’une unité la caractéristique. Ainsi, lorsqu'on donne 2. 844^00 1, la
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partie décimale tombant entre o. 8438554 cto. 844 47 7 a qui correspondent à 13.96 et à 13.98 dans la colonne Log A y, le nombre demandé sera 698 . 5 à o. 5 près. On a donné 3 chiffres à la partie entière, parce que la caractéristique est a.
Application détaillée à nn projet de route.
16. Pour éclaircir tout ce que les explications dans lesquelles on vient d’entrer pourraient encore présenter d’obscur, on a joint ici une application complète et détaillée des principes précédents à un projet de roule. La planche B représente le profil en long sur 6 1 1 mètres de longueur, et les 1 7 premiers profils en travers du terrain naturel et de la route à ouvrir pour l’adoucissement de la pente d’Orval près de Coutances (Manche), sur la route royale de 3 e classe n° 171 , de Granville à Carentan. Les parties hachées sont en déblai, et les parties pointillées en remblai. Les différents éléments du profil en long sont cotés suivant les notations ordinaires. Les profils en travers, pour lesquels le terrain naturel est constamment régulier des deux côtés de l’axe, sont complètement définis par les cotes de déblai ou de remblai sur l'axe, par la forme adoptée pour la route, et par les valeurs attribuées à l’inclinaison du terrain naturel de chaque côté de l’axe :p indiquant la pente, et c une contre-pente ou rampe. Ainsi, par exemple, au-dessous du profil 9 on voit que le côté gauche descend suivant une pente de o" 1 . 1 90 par mètre , et que le côté droit monte suivant une rampe de o m . 3 ao par mètre. La cote sur l’axe étant de o m . 5 a en déblai , le profil en travers sera défini , suivant les nota-
DES TAULES.
lions adoptées pour les formules du n° 6, par les quantités p = o. 190, c — o. 320 , d = o. 52 , aussi bien que par le dessin qui le représente.
17. En adoptant pour la route à ouvrir les dimensions de 10 mètres entre les arêtes extérieures des accotements, de i m . 5 o de largeur de gueule pour chaque fossé dont la profondeur et la largeur au fond sont de o m . 5 o, les talus de déblai étant réglés à 45 ° et ceux de remblai à 1 ; de base pour 1 de hauteur, lorsque le fossé est supprimé ; les valeurs numériques données par le tableau du n° 8 , substituées dans les formules générales , serviront à établir le tableau suivant des formules applicables au profil qui vient d’être défini , et qui est un des plus souvent employés en France.
TABLEAU
