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2 PRINCIPES CxÉNÉliAUX.
plus consistante. Les conséquences pratiques que nous tirions des premières recherches ne sont pas beaucoup modifiées par l'étude plus précise que nous avons pu faire depuis ; mais elles sont plus fortement justifiées.
Dans les recherches antérieures, nous avions considéré comme négligeable toute résistance à la tension du ciment, parce que, en réalité, cette résistance est faible par rapport à la résistance de compression. Il n'en est pas moins vrai que cette résistance existe. Sous les très fortes charges, lorsque la compression du ciment, ainsi que la tension du métal des barreaux formant armature, sont devenues très considérables, cette résistance à la tension devient tout à fait négligeable ; mais sous les charges normales, lorsqu'on se maintient encore au 1/7 ou au 1/10 des conditions qui amèneraient la rupture, rintervention de la résistance à la tension joue un rôle appréciable ; elle modifie, dans une certaine mesure, les résultats obtenus par la première méthode. Or, s'il est très utile d'étudier les conditions dans lesquelles travaille la pièce lorsque la charge atteint son maximum, il n'est pas moins intéressant de comparer les conditions dans lesquelles elle travaille sous la charge considérée comme normale.
LIMITES DE LA RÉSISTANCE A l'eXTEXSION.
Soit une poutre droite en ciment, armée de barreaux en fer à la partie supérieure, soumise à des charges verticales et posée sur deux appuis [fig. 1). A la partie inférieure sur une longueur plus ou je ^
moins grande, et sur une plus ou I ■-.l'I |
moins grande hauteur, le ciment ^ I-
a atteint ou dépassé, par suite de i
la flexion, la limite de sa résis- . ^-
Ni
tance h la tension ; un prisme CDEF reste intact ; nous lui sup- ^ posons une section rectangulaire.
Le barreau exerce une tension N. Nous appelons : [j. le moment total des forces extérieures, verticales ou horizontales, par rapport à une section donnée ;
E la distance du plan supérieur CD au point où passe le polygone des résultantes, tracé, comme d'ordinaire, au moyen des forces verticales et horizontales ;
LIMIIKS DM I.A lti;SI.STAN(:i'; A l/liXTENSION,
v' et v"\es disLaiices, aux plans Cl) et EF, de l'axe neutre. La section étant considérée comme rectangulaire o' el-v" sont égaux ; h la hauteur de la section, c'est-à-dire v' -^ v" ou 2v' ; s la section ;
b la largeur de cett»; section.
Si est le plus grand ell'ort de compression, l\, le [il us grand effort de tension, d'après les formules connues, on aura :
I +j = ,wA^^' - -H
et
Proposons-nous de déterminer, pour une section quelconque, la hauteur h pour laquelle la tension atteint la limite de résistance. On trouve que, si représente cette valeur limite :
Lorsque z est plus petit que zéro, c'est-à-dire pour la région où le polygone passerait au-dessus de CD, h, ne pouvant être négatif, ne prend qu'une seule valeur ; celle-ci décroît à mesure que ^ diminue en valeur absolue, c'est-à-dire à mesure que le polygone s'abaisse.
Lorsque s est nul, c'est-à-dire sur la section où le polygone coupe
CD, h peut avoir deux valeurs : l'une ^ = 0, l'autre h = —
Lorsque devient positif, le polygone passant au-dessous de CD, h peut avoir deux valeurs, l'une et l'autre positives, symétriques par
rapport à la valeur moyenne
Enfin, si s devenait plus grand que la valeur de h serait imaginaire. Quand le polygone s'abaisse au-dessous d'une certaine limite, la limite R, de résistance à la tension n'est atteinte nulle part.
Examinons donc les cas où, au milieu de la pièce entre les deux points d'appui, la valeur de t est successivement négative, nulle, positive, le polygone des résultantes passant au-dessus de CD, puis en C, enfin au-dessous de CD (fig. 3). A droite de l'axe, la valeur de 3 augmente progressivement pour chaque section, et les valeurs correspondantes de h varient en conséquence. Reliant ces valeurs par une ligne continue, pour représenter les diverses valeurs
^ miNClPES GÉNÉRAUX.
de h nous obtenons une courbe, du genre elliptique ou parabolique suivant que la charge est uniforme ou est constituée nar un' poids unique placé au milieu de la portée. Chaque courbe a un sommet E, E', E" [fig. 2) correspondant à la section pour laquelle . atteint sa limite J^, et au delà de laquelle
les h sont imaginaires. , , u
Pour tout point de la masse de ciment place au-dessus de la branche supérieure, ou au-dessous de la branche inférieure de la courbe, la tension reste inférieure à la limite R,. , . , ,
Pour tout point placé entre les deux branches, la tensiou est supe-
Hg..2
rieure à cette limite, et il y a tendance à désagrégation de la matière .
La courbe figurative des h représente donc, pour chaque valeur de la tension N sur le barreau et pour le polygone des résultantes correspondant, la limite de la zone de désagrégation.
Si la section n'était pas rectangulaire comme nous l'avons supposé, les valeurs de 1, s, v' , v" auraient des expressions différentes; les courbes limites ne seraient plus des 'ellipses ou des paraboles, mais conserveraient une forme générale tout à fait analogue.
D'après cette indication théorique, nous pouvons nous représenter exactement les diverses phases par lesquelles passe une poutre droite, constituée au moyen de ciment et de tendeurs en fer, à mesure que l'on augmente la charge portée par elle.
Première période. — Au début, sous de faibles charges, l'adhérence du fer et du ciment subsistant, la limite de résistance à la tension du ciment n'étant pas atteinte ; le ciment et le fer travaillent
MMii'i'; Dr; i.a lii'isisi'ANCK A i:nsi()\.
solidairointMil cl, prcniuMil parloiil lo mémo îilloiigomciil. Il s'uiisinl, (jne la Iciision du mêlai cl (■elle du ciment sont entre elles dans le rapport de leurs eoenicients d'élasticité, rapport ([ue nous appellerons r. Appelant U' la tensiou, par unité de surface, pour le barreau . U'
en fer, on doit avoir -jj- =r.
Pendant cette période, tout se passe absolument comme si l'ou remplaçait la section des barreaux par une section fois plus grande de ciment, placée à la même hauteur. On calculera donc la déformation de la pièce et les efforts qn'elle subit, par suite de sa flexion, exactement comme pour une poutre ordinaire, en modifiant seulement la section et la valeur de I d'après l'observation qui précède. Une section plane reste plane; les allongements et raccourcissements, les tensions et compressions en chaque point sont proportionnels aux distances de ce point à l'axe neutre, conformément aux formules habituelles.
Cette période est très courte, et cette proportionnalité ne peut être admise que dans les limites très étroites qui restent généralement au-dessous des conditions de charge pratique.
Ainsi, pour la poutre mise en expérience à Lausanne, rompue sous une charge totale de 27,000' environ, ce qui implique une charge normale en service de 3,500' à 4,000'S on a, en prenant r= 10, valeur qui convient à cette pièce dont la date de fabrication était déjà ancienne :
rw = 10 X 0.001414, 5 = 0.1536, IrzO.OOll, w' = 0"\0717, «"r=0-.2183,
en tenant compte de l'intervention du métal à remplacer par une masse équivalente de ciment.
Si la limite de résistance à la tension est de 20'' par centimètre carré, comme on l'admet généralement, le moment correspondant est égal à 1,080. La portée étant de 5". 26, la charge uniforme ne peut dépasser 1,640'.
Si, pour du ciment âgé, on admet une limite plus élevée, de 30'\ par exemple, la charge maxima serait de 2,460''. Or le poids seul de la poutre est de 1,860'. On voit que, aussitôt la pièce posée, la limite de cette première période est déjà presque atteinte, sinon dépassée.
Deuxième période. — On entre donc promptement dans une seconde période très différente de la première : au milieu de la portée, à la partie inférieure de la pièce, la limite de résistance à la
