A' — A-(B'-BK

CHARGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE

On remarquera que ces deux expressions sont indépendantes des R et de N.

Substituant dans (3), on aura.

A — Bz

Les relations (4) et (5) donneront P et R,.

Premier exemple d'application. — Prenons la poutre mise en expérience à Lausanne, d'après le procès-verbal reproduit plus loin Suivons d'abord la marche que suivent les valeurs de a, à mesure que les épaisseurs réduites h, diminuent de plus en plus sous des charges croissantes ; en d'autres termes, voyons comment se propage latéralement la désagrégation centrale.

Nous prendrons ici r=iO, valeur qui s'applique, comme nous le vérifierons plus loin, à cette poutre âgée d'ailleurs de plus d'une année, et qui avait pris en conséquence une résistance exceptionnelle. Les formules donnent les résultats suivants :

7?o=0.27 A 0=0. 24 Ao^O.SO

'.0717 0 .0670 0 .0615 0 .0537jo, .0458 0, .0400 0.

/ 1 Ti 79,

— 0.0030 f 0.01 48 1-0.0105 f0.0168 1-0.0136 hO.0095

Uue signifient ces valeurs tantôt réelles, tantôt imaginaires?

Ln suivant pas à pas les phases successives que caractérisent ces valeurs, nous allons retrouver les diverses périodes que nous avons deja décrites.

1° Au début, sous les faibles charges, il y avait adhérence du béton et du métal, jusqu'au moment où la tension, à la partie inférieure, a atteint la limite de résistance a de ce béton.

La hauteur totale de la pi^ce; égalé à^-0'";29, était utilisée. La

valeur de I pour colle secliou élail 0.0007:iO, la surface esl de i)Mm, La surface des barreaux est de 1414 miUimèlres carres; la surlace équivalente de cimeut, ou n., est 0.01414. K.i i.itroduisaut celle surface complémentaire, le déplacement du ce.drc de f-'-avite est de 0".0139. La distauce de l'axe des barreaux au c(mlre de gravite esl

do 0"'. 1544. . . , I 1-

D'après le principe couuii, le moiueid, .riuerlie l' de la section

ainsi modifiée devieut

l'z= 0.000730+ 0.15:3(3 X O.ÔT^ÏÏ' + •-'•''1^^'^ X ^

La nouvelle valeur de o'' est 0'".2044; en conséquence celle de

devient 0.00538. La lensiou est donc -^ = 0.00538"

Si la limite de cette tension esl de 20'^ par centimètre carré, comme pour les bétons ordi- .

naires, on en conclut que la -X FiO- 2.

valeur limite de est 1076. |

Or, la portée étant de 5"\26, i la charge correspondant à ce I moment est de 1,635^ seule- n /'

ment, lorsque la poutre seule /\'\z.^f::^::r--zpd(--:rr-

pèse 1,862\ ^ \.^-:^-

Si la limite est de 30', la charge limite est de 2,450'. -y-

Cette période, si le poids i:ZZ;^~3

seul de la poutre ne suffit j o.

pas pour qu'elle soit dépassée, | j n'a en tous cas qu'une très \ g^/ ^y6 courte durée, bien que nous ■ v-^ | ^i^^

utilisions ici la tension jusqu'à ' j A.

sa limite extrême.

2° Aussitôt après, la section centrale commence à s'affaiblir. La courbe limite, définie comme nous l'indiquions, est une courbe telle que 1 , passant d'abord en A et coupant le barreau en B, à une distance : 0.42 I, d'après le tableau ci-dessus. En B comme en A, la tension a sa valeur limite, quelle que soit d'ailleurs celle-ci, puisque les valeurs de y-, et sont indépendantes de R^, comme on l'a vu.

-Au-dessous de la courbe limite il n'y a pas de désagrégation, car Ift t-ension y est plus petite que ;Ra.. , . • < -

CHARGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE

Puis à mesure que la charge augmente, la courbe limite remonte

aO .24 et touche alors en A' l'axe du barreau. La distance hori o taie, du centre jusqu'à B, a diminué, passant par la X 0 3/ " pour s^annuler dans la position 2. ^' Au delà, la courbe, continuant à remonter, passe en A" et ne coupe Plus^l axe des barreaux; c'est pourquoi la valeur de devient ima^"

3 Après avoir remonté pendant quelque temps encore, la courbe

Lors^m ellT ' f ''^"^^^ P^^^te que 0M45

Loi quelle n est plus que 0-.08, la distance du centre au point d intersection est 0.21 1. Cette distance augmente ensuite '. ^1 qu'augmente la charge et que diminue l'ép^iss^ r u 1 ' V " "ne' epa;sse.„- réduite de 0^04, elle atteint son maximum ^gal à 0 2"

PO itioi: ;e,ir^'z ''r: ^^^^^-^ ayant^tteli t une

position telle que 4, l'intersection B rétrograderait vers la gauche comme l'indiquent les valeurs moindres de . ^ '

Dans la première période il n'y a donc aucune désagrégation Puis

strictement nécessaire pour que la flexion augmente et dévelnnnp

0 al'rVr ''"'f ^ B soient à une distance 0,42 l ou

ce te ia± 'T , ^ "-«8-gation suc toute

c^ette largeui. Au contraire, la face inférieure AM de la pièce se

ques laite au début, cela exprime que la tension y est inférieure à a l,m,te La désagrégation ne peut s'étendre latéralement eHe r te cantonnée dans la partie centrale; en réalité la largeur d la par L ÏcleX ^' ^'^ '"«'^e

Ensuite, pendant la période où les valeurs théoricmes de . devien

les barreaux, la véritable valeur de reste la même, voisine de zéro ; car, en réalité, la fissure déjà produite ne se referme pas

Plus tard les courbes limites prenant les positions 3, 4, a partie mfeneure du béton, voisine de la face inférieure AM i >est plus au-dessous de la branche inférieure; elle se trouve tomber dan Imtemlle entre les deux branches. Ceci indique, comm nou

BKANCIIK INFKIUKIIUE. 33

l'avons fait remarquer, que dans cette région la tension limite est maintenant dé[)asséo. A partir de ce moment, la désagrégation s'étend de plus en plus vers la droite et vers la gauche, et la valeur théorique de indique hien désormais la largeur sur laquelle se propage cette désagrégation.

Dans le cas extrême ou l'épaisseur est réduite au-dessous de 0"'.04, le point d'intersection B tendrait à revenir en arrière et à se rapprocher du centre. En fait, ce recul ne peut avoir lieu, car le béton déjà désagrégé ne peut se ressouder, et la véritable valeur de reste égale à son maximum 0.29.

Du reste, à partir de ce moment, les formules du premier cas, établies en négligeant toute résistance à la tension, redeviennent applicables et doivent prendre la place de celles-ci.

D'après ces observations, il est donc nécessaire de remanier le tableau précédent : jusqu'à l'épaisseur = 0'M45 ; la valeur de doit rester sensiblement nulle; les valeurs primitives de seront ensuite conservées jusqu'à l'épaisseur de 0"'.04; au-delà elles seront uniformément de 0.29.

Tant que aj = 0, la valeur de se déduit de l'équation (l) qui donne alors

et la condition (2) n'est plus à observer, puisque nous la remplaçons par a.= o.

Pour les faibles épaisseurs, puisque nous remplaçons la condition (2) par 7-1 = 0.29, la valeur de déduite de (1) sera

51 noi

I ÏL

en tenant compte de la valeur de a^.

Adoptant pour Ra la valeur de 300 X 10'*, on trouve finalement :

■Si

CHARGE UMFOHMÉiMEiNT RÉPARTIE.

P' = -ipl

lliéoilque

observe

p. cai.q.

— u . /vO-±u

, Ok

(1 lOQn

o /< AAk

— . Uo i 4

— u . UUoU

Au début il semble qu'il y ait une période d'hésitation, en quelque sorte, où la valeur de \ varie rapidement, ainsi que la valeur de N, mais pendant laquelle la valeur delà charge totale P varie peu ; c'est la période où a, reste presque nul. Cela veut dire que, pendant ce temps, sous de légers accroissements de la charge, la tension des barreaux augmente rapidement et le polygone des pressions ou résultantes s'abaisse aussi rapidement.

Il semble également que, sous les fortes charges, vers 7^=0.03, on rencontre un maximum de charge P que l'on ne puisse dépasser,' au moins en faisant usage des formules déduites du cas des faibles charges. Il n'est pas impossible que ceci coïncide avec les premiers symptômes de fatigue que l'expérience révèle très nettement sous la charge de 15 à 16,000^ effectivement. Quoiqu'il en soit, dans cette période ultime qui va jusqu'à la rupture, on devrait substituer les formules déduites du cas des fortes charges.

Nous avons reproduit, à la suite de ce tableau, les valeurs de la tension R' du métal telles qu'elles ont été mesurées dans les différentes reprises de l'expérience. On doit toutefois faire observer que ces valeurs ne pouvaient être qu'approximatives puisqu'elles ne sont pas mesurées surlapartie centrale mais à une distance assez notable; et, de plus, parce que, pour loger l'appareil, on avait déchaussé les barreaux, sur une certaine étendue, dans la région précisément où doit se faire le scellement des barreaux. Tout ce que l'on peut dire, c'est que les chiffres observés ne s'écartent guère des chiffres théoriques.

De cette analyse, quelque peu longue et délicate, le fait important à dégager est celui-ci :

La valeur de a reste sensiblement nulle jusqu'à des charges qui

BRANCIIK IN'FFJUKniîK

dépassent seiisiblemeiil celle qm^ l'on peiiL (MMisidérer ("orame iiorinule. Eu oiïel la pièce, Cafcif^iiée vers 10,000'', s'est rompue à 2o ou 20,000'', y compris le poids de la poutre. I-.a charge normale S(;ra,it

p ou de ce poids, soit 3,000' à 1,000''; jusque-làv.iresteàpeu près nul.

On pourra également remarquer que dans le cas actuel, la valeur de en changeant de signe, devient nulle sous une charge de 4,000" environ. Sous la charge considérée comme normale, le polygone des résultantes ou pressions passe donc au sommet de la pièce ou en un point voisin.

Deuxième eœemple. — Nous prendrons encore comme exemple une poutre construite à Bruxelles le 7 juillet 1892 et mise en expérience le 15 juillet. La poutre de Lausanne était âgée; celle-ci, au contraire, était de date exceptionnellement récente. Ici la résistance à la tension doit être très faible, le coefficient d'élasticité peu élevé, et le rapport /' doit être grand. De plus cette pièce offrait cette particularité que le hourdis n'était composé que de béton sans barreaux de fer; c'est ce qui a amené une rupture prématurée. Le hourdis formant saillie en porte-à-faux s'est rompu sous une charge beaucoup plus fail)le que celle qui eût pu produire des désordres graves sur la pièce prise dans son ensemble.

A titre de comparaison et pour constater l'influence que peuvent exercer les variations dans la valeur de r, nous adopterons successivement 40 et 00 pour ce rapport.

. La marche des calculs est d'ailleurs identique à celle du cas précédent; il est facile également de voir que la marche des faits se présente de la même façon. Avec r — 40

CIlAliUK UNI KO H. M i: M i: NT lilîl'AHTlE.

La valeur de zq augmente jusqu'à uu maximum comme dans le premier cas, ce qui indique l'abaissement progressif du sommet du polygone des pressions; d'abord positif devient nul et imaginaire, augmente ensuite jusqu'à un maximum au delà duquel il décroît. i\ous avons donc à substituer, comme la première l'ois, une valeur nulle jusqu'à A = 0.16 ; puis une valeur constante, égale à 0.33 à partir de /i = O.OG.

P' = 2pl

(ii"/"

/iz=0.06

ou 32. Le - de l'aile est -

La rupture, accidentelle en quelque sorte, s'est produite sous une charge de 6,500"^ sur l'aile de 0"'.15, ce qui représente pour celle-ci une charge de 210'' par mètre courant, et un moment de 210 X 0.15

g ou 0.0006; on voit que le travail de

tension, à la rupture, atteignait au plus 6'' par centimètre carré, chiffre que nous adoptons dans ces calculs.

Nous avons pris 0.15 pour bras de levier, et non comme impliquerait la charge uniforme sur le porte-à-faux; c'est que l'aile avait résisté sur toute sa longueur, sauf à un bout et sur un seul côté ; il est donc à penser qu'en ce point particulier la charge s'est trouvé accidentellement porter près du bord. Avec r= 60

iiitAN<'.iii'. i.M'i':itii;i Ce ([ui conduit définitivement <ui tahhsui suivant:

Jl = 0.

SilOO"

Au delà le maximum est dépassé. En comparant aux chiffres predents, on constate que, le rapport r augmentant pour un coefficient d'élasticité moins élevé, la charge correspondant à chaque épaisseur est plus forte, ainsi que la tension. Comme conséquence de ce même fait, les valeurs de sont plus grandes dans le second cas, ce qui indique que le polygone s'abaisse. Les valeurs de a,, c'est-à-dire la largeur de la région désagrégée, varie peu.

Comme pour la pièce précédente ces valeurs restent nulles sous les charges peu considérables et jusqu'aux environs de la charge que l'on peut considérer comme normale. Toutefois, avec des bétons aussi peu résistants, l'élargissement de la fissure centrale commence plus tôt.

Si l'on voulait chercher jusqu'à qu'elle charge s'étend la première période, comportant l'adhérence du béton et du fer, on aurait pour cette pièce

,s- = 0.1068, 0) = 0.000700, r=60, rco ^ 0.0456, I r= 0.0004181 , r = 0.0004181 + 0.1068 X 0.042' + 0.0456 X 0.0086' = 0.00105,

(l'où 1|.,=^^^^= 0.00817. Si R, = 6 X 10'% on trouve que p. ne

peut excéder 490, et la charge totale 835", chiffre inférieur au poids de la poutre. On devait s'attendre à ce résultat puisque, avec des bétons très âgés et très résistants, on dépassait à peine, pour la charge disponible, le poids même des poutres.

Flèches.

Le calcul des flèches est semblable à celui du premier cas;

Où

lois nous n'avons pas à exprimer ici en fonction de 0, mais seulement (le 7,. L expression I est ici constante.

l" Pour la partie centrale, ayant à former l'expression

X = Xl

Nous remplaçons p. par N(.'.) et s pa,-

devient toujours Intégrant de a oL = t on trouv; '