MS>M'R

Or, les deux triangles rectangles MRM', MSM'ont l'hypoténuse commune. Donc, d'après une propriété connue, suivant que l'angle aigu MM 'S sera plus grand ou plus petit que l'angle aiguM'MR, on aura MS>M'R, ou MS<M'R.

D'un autre côté, les angles MM 'S, M 'MR sont égaux, respectivement, à MBQ, MAP. Donc, suivant que l'angle MBQ sera plus grand ou plus petit que l'angle MAP, on aura MS^M'R, ouMP + MQ>M'P'+M'Q\

il résulte de cette discussion que la somme MP+MQ est un minimum, quand le point M se confond avec la

trace de la droite AB sur celui des deux plans VXY, XYZ qui fait le plus grand angle avec celle droite. (Voyez Probl. XVI, Liv. I.)

Couper un angle tétraèdre SABCD par un plan, de manière que la section mnpq soit un parallélogramme.

D'après un théorème connu, les deux plans BSC, ASD, Fig. 285. passant par deux droites parallèles nq, mq, se coupent suivant une parallèle SF à ces droites. De même, l'intersection SE des deux autres faces de l'angle polyèdre est parallèle kmn, pq. Conséquemment, pour résoudre le problème proposé, il suffit de couper l'angle donné par un plan quelconque, parallèle à ESF.

Couper par un plan un angle Irièdre trirectangle SABC, de manière que la section MNP soit égale à un triangle donné.

Du sommet N, abaissons NN' perpendiculaire au côté j? I0 . 280. MP, et menons SN' : cette droite, projection de NN' sur le plan CSA, sera perpendiculaire à MP. En même temps, la droite NN' sera, sur le plan MNP, la projection de l'arête indéfinie SB, attendu que le plan SNN', évidemment perpendiculaire k la droite PM, est perpendiculaire à MNP.

De même, les deux arêtes SA, SC ont pour projections, sur ce dernier plan, les perpendiculaires MM', PP', abaissées des sommets M, P sur les côtés opposés. En d'autres termes :

223 THfcOUW» BT PRO»L*HES

Si Von soupe, par un plan quelconque, un angle trièdre trirectangle, les arêtes se projettent suivant les hauteurs du triangle déterminé par le plan; et le sommet de long le trièdre a pour projection le point de rencontre des trois hauteurs.

Observons maintenant qu'il est bien facile de construire les trois triangles rectangles MSP, MSN, NSP ; car dans MSP, par exemple, on connaît l'hypoténuse MP, ainsi que le pied N' de la perpendiculaire abaissée, du sommet S sur l'hypoténuse. Le problème peut donc être regardé comme résolu (*).

Étant donné deux droites fixe» X, ¥ et an emgle dièdre D, que Fou finît tourner autour de son arête C, supposée fixe, prouver qull existe fur la première droite un point fixe À, et sur la*seconde droite un point fixeB, tels que a et b étant les points où ces deu* droites percent les faces de l'angle dièdre, dans une position quelconque, le rectangle des segments Âa, Bb soit constant.

Projetons toute la figure sur un plan P perpendiculaire à l'arête G. Cette arête aura pour projection un point fixs c ; l'angle dièdre $er$ projeté suivant un angle plan, de grafr deur constante, mais mobile autour 4e son sommet c; enfin le système des droites X, Y aura pour projection un angle fixe $oy. D'un autre côté, les segments de ces deux droites sont proportionnels aux segments intercepté» sur le* côtés de l'angle, Si donc le rectangle de ces derniers est constant, le rectangle des deux autres le sera aussi; et ré-

(•) Traité élémentaire de Géométrie descriptive, I" Partie, p. «0.

ciproquement. Or, d'après le Problème LXXX du Livre III, le premier rectangle est constant ; donc , etc.

Quel est le lien des points également distants de deux droites qni se coupent?

Abaissons, d'un point quelconque M du lieu, les per- Fig. 287. pendiculaires MP, MQ aux deux droites données AB, AC ; abaissons aussi MM' perpendiculaire au plan ABC ; enfin , menons PM', QM\

D'après l'énoncé, les droites MP, MQ doivent être égales entre elles; donc les deux triangles rectangles MM'P, MM'Q sont égaux, et M'P=M'Q.

Le point M doit donc être situé de manière que sa projection M' sur le plan ABC soit également distante des deux côtés de l'angle ABC. Par conséquent, le lieu demandé se compose du système de deux plans, perpendiculaires au plan des deux droites données, et ayant pour traces, sur ce dernierplan, les bissectrices des angles formés par ces droites.

Quel est le lieu des points tels, que la différence des carrés ta distances de chacun d'eux à deux points donnés A , 8 , soit égale à un carré donné m*?

Si l'on se reporte au Problème LXYIII du Livre III, on verra que ce lieu est un plan perpendiculaire à la droite AB.

On donne n droites OA, 0A\„ passant par on point ; et l'on demande sur quelle surface sont situés les points M tels, que si l'on abaisse, de chacun d'eux, les perpendiculaires MP, MF, MF..., sur ces droites, la somme des rectangles construits sur les distances OP, OF, OF'..., et sur des longueurs données b, b', b\,.. soit équivalente à un carré donné /*.

Fig. 284. Prenons les distances OB, OB', OB"..., respectivement égales à b, &', b",... ; et abaissons, sur OM, les perpendiculaires BG, B'C, B"C".... Nous aurons, comme il est aisé de le voir,

OP.6=OM.OC,OP^fr'=OM.OC^OF.ft ,/ =OM.OC^..

La relation donnée deviendra donc.