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THÉORÈME X

Dans (ont quadrilatère gauche, les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme.

La démonstration de ce Théorème est la même que celle du Théorème VIII, Livre I.

THÉORÈME XI

Dans toul quadrilatère gauche, le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés est situé au milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales.

(VoyezTh.IX,Liv.I.)

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THÉORÈME XII

Tout plan transversal XY détermine, sur les côtés d'un triangle ABC, six segments tels, que le produit de trois segments qui n'ont pas <T extrémités communes est égal au produit des trois autres.

Le plan XY coupe le plan ABC suivant une transversale Fig. 277. MN; et les points de rencontre de cette droite, avec les côtés du triangle, sont ceux où ces côtés percent le plan XY. La proposition est donc ramenée au Théorème VIII du Livre III

THÉORÈME XIII

Si les côtés d'un polygone gauche sont coupés par un plan transversal , le produit des segments qui n'ont pas d'extrémité* communes sera égal au produit des autres segmetals.

(Voyez Th. XII, Liv. m.)

Remarque. Cette proposition est la généralisation du Théorème XL

THÉORÈME XIV

Si, par une droite quelconque XY, et par les différents sommets d'un polygone gauche ABC... ayant un nombre impair de côtés, on fait passer des plans qui partagent les côtés respectivement opposés à ces sommets , chacun en deux segments , le produit des segments qui n'ont pas d'extrémités communes sera égal au produit des autres segments.

Projetons la figure sur un plan quelconque P perpendi- Fig. 278. culaire à XY ; et soit À'B'C'D'E' la projection du polygone gauche. Les traces des différents plans AXY, BXY..., seront des droites A'O, B'O... , passant toutes par un même point 0, projection de XY. De plus, les points a\ 6'..., où

ces transversales A'O, B'O..., coupent les côtés CD', D'E'..., du polygone plan, sont les projections des points a, 6,... où les plans AXY, BXY..., sont rencontrés par les côtés CD, DE..., du polygone gauche.

Cela posé, les deux segments déterminés sur un côté quelconque du polygone gauche, par exemple, sur le côté CD. sont proportionnels aux deux segments déterminés sur la projection de ce côté, attendu que CC, DD', aa r sont trois parallèles. Or, nous avons, dans le polygone plan, A'^BV.CV.D^EV=AV.E'^DV.CV.B'd' (Th. XII, Liv. III).

Nous aurons donc aussi, dans le polygone gauche, kd.Be.Ga.tob.Ec = Xc.Eb.J)a.Ce.Bd.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. Le Théorème qui précède peut, de la même manière, se déduire du Théorème XI (Liv. III).

THÉORÈME XV

Lorsqu'une droite AB est partagée en deux segments AC, BG proportionnels aux nombres b, a; si, des points A, B, G on abaisse, sur un plan quelconque XY, des perpendiculaires AA', BB', CC', on a (a+é)CC'=«.AA'+6.BB f .

Cette proposition se démontre, à fort peu de chose près, comme le Théorème I du Livre III.

THÉORÈME XVI

Étant donné un système de points A, B, C..., on peut toujours déterminer un point tel, que sa distance à un plan quelconque XY soit égale à la moyenne arithmétique entre les distances , au même plan , des points A, B, C...

(Voyez Th. II, Liv III.)

THÉORÈME XVII

La somme des carrés des dislances de n points A, B, G..., à un point quelconque S, est égale à la somme des carrés des distances des mêmes points à leur centre 0, augmenté de n fois le carré de SO.

(Voyez Th. III, Liv. III.)

THÉORÈME XVIII

Le lieu géométrique des points tels que la somme des carrés des distancés de chacun d'eux à des points donnés A, B, C..., soit constante, est une sphère qui a pour centre le centre des moyennes distances des points A, B, C...

(Voyez Th. IV, Liv. III.)

THÉORÈME XIX

Si, dans un angle polyèdre convexe, dont toutes les faces, excepté une, sont constantes, on fait varier un seul des angles dièdres opposés à cette face, de manière que l'angle polyèdre reste convexe, la face variable augmentera si l'angle dièdre augmente, et elle diminuera s'il diminue.

Supposons, par exemple, que dans l'angle polyèdre S, Fig. 279. supposé convexe, on fasse varier l'angle dièdre SD, opposé à la face ASB; supposons, de plus, que les autres angles dièdres SC, SE, SF n'éprouvent aucun changement, et qu'il en soit de même à l'égard des faces BSG, CSD..., FSA.

Si l'on mène les plans ASD, BSD, on décompose l'angle polyèdre donné, en un angle trièdre SABD, et en deux angles polyèdres SAFED, SBCD. Or, il résulte des hypothèses précédentes que ces deux derniers angles polyèdres sont constants. Par suite, la variation de l'angle dièdre §D, dans l'angle polyèdre donné, est égale à la variation de Tan-

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gle dièdre SD, dans l'angle trièdre SABD. D'ailleurs, si un angle trièdre SÂBD a deux faces constantes ASD, BSD, la troisième face ASB augmente ou diminue suivant que l'angle dièdre opposé augmente ou diminue ; donc, etc.

Remarque. Au lieu de supposer que l'angle dièdre SD varie seul, on pourrait faire varier successivement plusieurs des angles dièdres opposés à la face ASB. Par conséquent, Si, dans un angle polyèdre convexe, dont toutes les faces, excepté une, sont constantes, on fait varier , dans le même sens, quelques-uns des angles dièdres opposés à cette face, de manière que l angle polyèdre reste convexe, la face variable augmentera si les angles dièdres ont augmenté, et elle diminuera s'ils ont diminué*

THÉORÈME XX

Si Ton fait varier d'une manière quelconque les angles dièdres d'un polyèdre convexe dont les faces sont constantes; que Ton mette le signe + sur l'arête de chaque dièdre qui augmente, le signe — sur l'arête de chaque dièdre qui diminue, puis que l'on fasse le tour entier de l'angle polyèdre, on trouvera au moins quatre variations de signes.

Il faut que l'angle polyèdre considéré ait plus de trois faces, sans quoi l'invariabilité de celles-ci entraînerait l'invariabilité des dièdres. De plus, on suppose que l'angle polyèdre reste convexe, après comme avant la variation de ses angles dièdres. Cela posé :

1° On ne peut pas supposer que tous les dièdres aient varié dans le même sens, car alors, d'après le Théorème précédent, il y aurait eu variation d'au moins une des faces.

2° En faisant le tour de l'angle polyèdre, on ne trouvera pas # une seule série de signes +, suivie d'une seule série de signes — .

En effet, supposons que, dans l'angle polyèdre S, les Fig. 279, arêtes SB, SA, SF soient affectées du signe +, les autres étant affectées du signe — . Si nous menons le plan diagonal BSE qui laisse d'un côté une série de signes + et de l'autre côté une série de signes —, il résultera du Théorème précédent que l'angle plan BSE aura, tout à la fois, augmenté et diminué; ce qui est absurde.

3° D'après ce qui vient d'être dit, en faisant le tour entier de l'angle polyèdre, on trouvera plus de deux variations de signes. Et, comme on doit revenir à l'arête d'où Ton était parti, il s'ensuit que le nombre des variations de signes est pair; donc il est au moins égal à 4.

Étant donnés un plan XY et deux points A, B, situés d'un même c*té de ce plan, trouver, sur le plan XY, un peint H tel, que la somme des distances AN, BH soit un minimum.

Construisons le point B', symétrique du point B, par Fig. 280. rapport au plan XY; menons la droite AB\ et soit M le point où elle perce XY. M sera le point demandé. (Voyez Probl. X, Liv. I.)

Étant donnés un plan XY et deux points A, B, situés de côté et d'autre de ce plan, trouver, sur XY, un point M tel, que la différence des dislances AN, BH soit un minimum.

Soit B' le point symétrique de B, par rapport à XY. Me- Fig. 281 . uons la droite AB' : le point M où elle perce le plan sera le point demandé. (Vtyez Probl. XYI, Lrv. I.)

Trouver, sur une droite donnée AB, un point tel, que la somme de ses distances aux deux faces VXY, XYZ [d'un angle dièdre donné soit un minimum.

Fig. 282. Soient À, B les points où la droite AB perce les deux faces. Prenons, sur cette ligne, deux points quelconques M, M' ; abaissons MP, M'P' perpendiculaires sur la première face VXY, et MQ, M'Q' perpendiculaires sur la seconde face XYZ : ces droites déterminent les projections APP', BQ'Q de AB. Enfin, menons MR parallèle à PP', et JUS' parallèle à QQ\

Afin de connaître laquelle est la plus grande des deux sommes MP+MQ, M'P' -h M'Q, posons

MP + MQ>M'P'+M'Q'.

A cause de PR=MP, et de QS=M'Q', cette relation se réduit à