GC AD

BC AD # 0U BG=AH' etC -

THÉORÈME IL

Dans an parallélipipède qoelcoaqne, le produit de l'aire d'une faeo par la hauteur correspondante est constant.

Fig. 295 Remarquons d'abord que ce théorème est vrai , sans quoi un même parallélipipède aurait, à la fois , plusietirs volumes différents. Il s'agit donc, ici, d'une simple tréri/ication.

Par un sommet quelconque E du parallélipipède, menons un plan perpendiculaire à l'arête EH, et soit EMNP la section faite, par ce plan, dans les faces EG, GB, BD, DE. Si, du même sommet E, nous abaissons El, EK perpendiculaires sur PN, MN, ces droites seront perpendiculaires aux faces BD, BG.

En effet, le plan EMNP est perpendiculaire à l'arête EH; donc il est perpendiculaire, à la face EG et, par suite, perpendiculaire à la face BD ; donc la droite El, menée dans EMNP perpendiculairement à l'intersection PN, est perpendiculaire à la face BD.

On verra, de la même manière, que EK est perpendiculaire à BG.

Actuellement, les parallélogrammes BD, BG ont pour

DE GÊOMÉTRIB ÉLÉMENTAIRE. 233

mesures, respectivement, BC.PN et BC.MN ; en sorte que l'égalité à démontrer est

BC.PN.EI=BC.MN.EK, ou PN.EI=MN.EK.

Or, dans les deux triangles EPI, EMK, les angles P, M sont égaux comme angles opposés d'un parallélogramme ; donc les deux triangles sont semblables, et Ton a I*— EL etc

Si une surface polyédralc convexe est terminée par une ligne brisée, dont les côtés soient on ne soient pas dans un même plan , le nombre des faces , plus le nombre des sommets, égale le nombre des arêtes plus 1.

Désignons par F le nombre des faces, par S le nombre des sommets, par A celui des arêtes. Il s'agit de faire voir que

Cette formule est vraie dans le cas de F = l ; car alors S=A. Admettons donc qu'elle ait été vérifiée dans le cas de F faces, et démontrons qu'elle subsiste pour F + 1 faces.

Soit ABC... la ligne brisée qui termine la surface. Gon- Fie. 296. struisons, sur le côté AB, une nouvelle face, composée de n sommets et de n côtés. Si cette face a m côtés communs avec ABGD. .. , elle aura m + 1 sommets communs avec cette même ligne ; car on suppose que le nouveau polygone ne ferme pas complètement la surface, et qu'il laisse une seule ouverture. De cette manière, les nombres F, S, A deviendront, respectivement, F'=F -H , S' = S +n — (m + 1), A'=A-+-n — m; d'où, à cause de la formule ci-dessus, F'+S'=A'+1.

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THÉORÈME IV

Dans tout polyèdre eonve*e, le timbre F des face», plus le nombre S

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