PH-S=AH
Enlevons une face du polyèdre ; nous aurons une surface polyédrale ouverte, terminée à une ligne brisée, et dans laquelle les nombres de faces, de sommets et d'arêtes seront, respectivement, F — 4, S, A 9 danc, d'après la proposition précédente, F— 1 -hS==A + l ; etc.
Ce théorème remarquable, dû à Euler, a uq grand flpmbre de conséquences, parmi lesquelles nous indiquerons les suivantes.
THÉORÈME V
Dons tout polyèdre eonvexe : 1° les faces d'an nombre impair de côtés sont toujours en nombre pair; 2° les sommets auxquels aboutissent^ nombre impair d'arêtes sont toujours en nombre pair.
Soient, respectivement, a, ft, c, d,... les nombres de faces triangulaires, quadrangulaires, pentagonales, etc. ; représentons de même par a, |3, y, d,... les nombres d'angles trièdres, tétraèdres, pentaèdres.... , de manière que
F = a + ft-+-c + d+...
Chaque arête appartient à deux faces, et aboutit à deux sommets ; si donc nous comptons, soit le nombre des côtés de toutes les faces, soit le nombre des arêtes de tous les
bb #idK*rtii tu*»!? iiBi. . t3B
angles polyèdres, nous aurons le double SA du nombre des arêtes. Ainsi
2A=3a+4irt-5<3+6dH-7a+...,
3A=3«-f-4/3+5y+6<î+7c-fc...
Or, ees deux dernières égalités exigent évidemment que a4-c-f-$-K.. et a-hy-f-c-b... soient des nombres pairs.
thMme VI.
Pf M *#«* IPlyMff e<mw de F facai, le nomta S 4f s iMpet* il U HOfibre A des arêtes satisfont aux conditions
I^lff-I), A<5<*-8),
Les valeurs de F, S et 2 A, écrites plus haut, donnent 2 A— 3F=&4-2c+3d+..., 2À-3S=/3+2y+3*+...; dwic:4«, A>?F;
et A^?S.
Cette dernière relation devient, par le théorème d'Euler,
A5?(A + 2-F); ou: 2% A<5(F— 2).
Remplaçant A par F -+- S — 2, on obtient les deux autres conditions.
Remarque. Il est facile de construire des polyèdres dans lesquels le nombre des sommets soit, d'après les relations précédentes, le plus grand ou le plus petit possible. En effet :
L Dans un prisme ayant F faces, le nombre des côtés
236 • THÊOfttaKS BT PROBLÈMES
de la base est F— 2; donc le nombre S des sommets du polyèdre est 2 (F — 2).
II. Considérons un polyèdre formé de deux pyramides ayant une base commune. Si le nombre des côtés de cette base est n, on aura, en supposant que deux faces adjacentes quelconques ne soient pas dans un même plan,
F=2n, S=n+2; donc S=jF+2.
Et si les deux pyramides ont deux faces dans un même plan,
ou S=|(F+i) + 2.
THÉORÈME Vil.
Dans tout polyèdre convexe, le nombre des faces triangulaires, augmenté du nombre des angles trièdres, donne une somme qui ne peut être inférieure à 8.
D'après les valeurs de F, de S et de À, l'équation F + S=A + 2donne
2(û4-64-c4^4^4-..0^a( a -hP4-1f-*-^4-...)=*H-3a4-*6-+-5c-|-6d-4-... f 2(a+&4-c4^4^4-...)+ï(aH-p+74-^H-..0=4+3«M-iN-574-6^-h...;
OU
â(<x+P-pr-+-$-K..) — (a-+-a&-t-3c+4<J-K..>=4, (1)
a(a-HH-c+d-4-.-..)-(* + *+37+4^4-...)=*. (»)
Ajoutons membre à membre ces deux égalités ; nous obtiendrons
(a+*)-(c+y)-2(d+S)-(e+t)-...=S; (3) d'où a + «>8.
Remarques. I. Tout polyèdre convexe a des faces triangulaires ou des angles trièdres.
II. L'équation (3) exprime que, dans tout polyèdre eonvexe, la somme du nombre des faces triangulaires et du nombre des angles trièdres est égale à 8 , plus la somme du nombre des faces pentagonales et du nombre des angles pentaèdres, plus deux fois la somme du nombre des faces hexagonales et du nombre des angles hexaèdres, etc.
THÉORÈME VIII
1° Tout polyèdre convexe a des faees triangulaires, ou quadrangulaires, ou pentagonales; 2° tout polyèdre convexe a des angles trièdres, ou tétraèdres, ou pentaèdres.
Eutre les équations (i) et (2), éliminons, successivement, a et a; nous obtiendrons:
3a+2& + c-e-2f— ... — 2/3-4y-...=12, (4) 3a+2/3+y— e— 2<p— ...— 2fr — 4c— ...= 12. (5)
Or, les relations (4) et (5) exigent que 3a+2b+c et 3a + 2/3+y soient des nombres égaux ou supérieurs à 12 ; donc, etc.
Remarques. I. À l'inspection de l'équation (4), on reconnaît que :
1° Si la surface d'un polyèdre est formée seulement de triangles, ou si elle est formée de triangles et d'hexagones, le nombre des triangles sera égal ou supérieur à 4 ;
2° Si la surface d'un polyèdre est formée seulement de quadrilatères, ou si elle est formée de quadrilatères et d'hexagones, le nombre des quadrilatères sera égal ou supérieur à 6;
m Ttttotiais rr notttn»
3 e Si la surface d'un polyèdre est formée seulement de pentagones, ou si elle est formée de pentagones et d' hexagones, le nombre des pentagones sera égal ou supérieur à 1 .
IL L'équation (5) conduit à des conséquences analogues.
III. Supposons a = o, &=o, e=o, f=o..., /3=o, y=o...; alors l'équation (4) devient e=*=12. ffest-à-dlfe que si un polyèdre a seulement des angles irièdres, et que ses faces soient des pentagones et des hexagones, le nombre des pentagones sera égal à 12.
IV. L'équation (5) prouve pareillement que si un polyèdre a toutes ses faces triangulaires, et que ses angles soient en partie penlaèdres, en partie hexaèdres , té nombre deê pentaèdres sera égal à 12 (*).
THÉORÈME IX
Li somma des angles pins d'an polyèdre conrexe est égale i autant dt fois i droits que le polyèdre a de sommets moins deux.
Représentons par P cette sotntne, et conservons lel notations précédentes ; nous aurons, en prenant l'angle droh pour unité, p=Sa(5-2)+26(4-2)+2c(5-2)+Ô(i(e-2)^...,
ou
ou encore P==4À»— -4F.
Mais À-F**S— 3;
donc P=4(S-2).
(•) Géométrie de Le gendre, !*• édition, page 308.
Dl étaflfMI! ÊLtMffTAlft*. t89
THÉORÈME X
Dans tout polyèdre eeuteie, la Mtfltie de* angles polyèdres oit équivalente i Têleèi de la somme des angles dièdres snr antanl de fois t dièdres droits que le polyèdre a de faces moins deux (*).
D'après un théorème connu, chacun des angles trièdres du polyèdre est équivalent à l'excès de la demi-somme de ses angles dièdres sur 4 dièdre droit. De même, chaque angle tétraèdre est équivalent à l'excès "de la demisomme de ses angles dièdres sur 2 dièdres droits, et ainsi de suite. D'ailleurs, chaque angle dièdre du polyèdre appartient à deux angles polyèdres. Si donc nous prenons l'angle dièdre droit pour unité, la somme de tous les angles polyèdres sera égale à l'excès de la sommé des angles dièdres suf la quantité
Or, cette quantité est égale à 2À— 2S; ou, par le théorème d'Euler, égale à 2(F — 2).
THÉORÈME XI
Si une surface polyédrale convexe présente une seule ouverture, ayant m côtés boa situés dans un même plan, on pourra toujours fermer cette ouverture au moyen d'une surface polyédrale ayant au plus m— 8 faces, de manière à obtenir un polyèdre convexe fermé de tontes parts.
Soit ABCDEF le contour brisé qui termine la surface convexe. On pourra toujours faire passer uti plan qui côntieime au moins trois dei soirimets À, B, C, D, E, F, et qui laisse d'un même côté les autres sommets et la surface
(*) On doit a M» Msyer eet intéressant Théorème. (Voyez BvUetin de ' l'Académie de Belgique, tome XV, page 161.)
£40 nfcAtaDB R PROKlnS
polyédrale. Soit, pour fixer les idées, AEG h face ainsi obtenue. Par les sommets A, G, faisons passer un plan qui laisse encore d'un même côté tous les sommets de la surface, et supposons que ce plan tourne jusqu'à ce qu'il rencontre un nouveau sommet, B par exemple ; ACB sera une nouvelle face. En continuant de la sorte, nous obtiendrons une série de faces planes, dont l'ensemble fermera l'ouverture ABGDEF. Le nombre de ces faces sera le plus grand possible quand elles seront triangulaires et qu'elles auront un sommet commun A ; mais alors ce nombre sefa évidemment m— 2. De plus, le polyèdre résultant sera convexe; car si le plan EDC, par exemple, coupait la surface polyédrale proposée, le côté CD, prolongé, devrait aussi couper cette surface, laquelle ne serait pas convexe, contrairement à l'hypothèse.
THÉORÈME XII
Si la surfaee t u polyèdre convexe est partagée en P parties séparées les unes des antres par A arèles formait R réseau isolés, et qae S soit le nombre des sommets sitaês sir ees arêtes, on aura p+S=A+R+l 0-
Considérons d'abord le cas où les A arêtes sont liées entre elles, de manière à ne former qu'un seul réseau.
L'égalité P+S=A+2 est évidente si la surface totale du polyèdre est décomposée en deux parties seulement , par une succession d'arêtes formant un circuit fermé. Car alors P=2, S=A. Subdivisons l'une de ces parties en deux autres, au moyen d'une ligne de séparation formée par des
Cette ingénieuse généralisation du théorème d'Ealer a été donnée par M. Thibault. (Voyei les Nouvelles Annales, t. H.)
arêtes consécutives, et terminée à deux sommets déjà considérés. Alors P augmente d'une unité; mais, en même temps, l'augmentation de A surpasse dune unité l'augmentation de S ; d'où il résulte que P + S — A ne change pas. La même conclusion subsistant pour chacune des subdivisions nouvelles qu'on peut effectuer, la première partie du théorème est démontrée.
Admettons maintenant que les A arêtes ne soient pas toutes liées entre elles, de sorte que leur ensemble constitue R réseaux isolés les uns des autres.
Lions entre eux, par une succession d'arêtes intermédiaires, deux réseaux consécutifs, et considérons le nouvel ensemble composé d'un réseau de moins.
P n'a pas changé, mais l'augmentation de A surpasse d'une unité l'augmentation de S; ainsi P+ S — A diminuera d'une unité. En diminuant ainsi successivement d'une unité le nombre des réseaux, on aura, à la fin, diminué P-hS — A de R — 1 unités; mais alors toutes les arêtes seront liées entre elles, et l'on aura P+S— A— (R— \ )=2, ou P+S==A+R+1. Le théorème est donc démontré.
THÉORÈME XIII
tteax polyèdres convexes P, Y sont égaux lorsqu'ils ont tontes leurs faces égales chacune à chacune, et semblablement disposées.
Pour démontrer que les deux polyèdres sont égaux , il suffit de faire voir que chaque angle polyèdre du premier a son égal dans le second. Si cela n'a pas lieu, c'est que les angles polyèdres de P seront, en tout ou en partie, différents des angles polyèdres de P'. Ce second cas peut facilement être ramené au premier.
2*3 Trtoitau» rr ttoiiivs
Ed effet, soit SABCDE uq angle polyèdre de P, lequel a son égal dans le polyèdre P r . Si nous enlevons cet angle S, et que nous fermions l'ouverture ABCDE par une surface polyédrale convexe (Th. XI) , nous remplacerons le polyèdre P par un polyèdre Q, ayant moins de faces» moins de sommets et moins d'arêtes que n'en avait le polyèdre P. Nous pourrons de même supprimer dans P' l'angle polyèdre S' égal à S, et nous formerons un polyèdre Q' dont toutes les faces seront égales à celles du polyèdre Q. Ed continuant de la sorte , nous arriverons nécessairement (puisque les polyèdres P, P r sont supposés inégaux) à deux derniers polyèdres convexes T, T' ayant toutes leurs faces égales chacune à chacune, et tels, qu'aucun angle polyèdre du premier n'aura son égal dans le second. Le second cas que nous ayons à examiner sera ainsi réduit au premier.
Admettons donc, s'il est possible, qqe chacun des angles polyèdres de P soit différent de l'angle correspondant du polyèdre P'. Regardons ce dernier polyèdre comme une transformation du polyèdre P, et, dans cette hypothèse, mettons le signe + sur l'arête de chaque dièdre qui a augmenté, et le signe — sur l'arête de chaque dièdre qui a diminué. D'après le Théorème XX du livre V, le nombre N des changements de signes obtenus en faisant le tour de chacun des angles polyèdres de P, et le nombre S des sommets de P, vérifient la relation
Observons maintenant que deux arêtes consécutives d'un angle polyèdre appartiennent toujours à une même face de P, et n'appartiennent qu'à cette face; donc le nombre N doit être égal au nombre total des variatious de signes ob-
DE GfOJttTBIB ÉLÉMBNTAIM. 243
tenues en faisant successivement le tour de chacune des faces du polyèdre P.
Or, pour chaque face triangulaire, le nombre des variations de signes est, au plus, égal à 2.
Pour chaque face quadrangulaire, le nombre des variations de signes est, au plus, égal à 4.
En général, si le nombre des côtés d'une face est pair et égal à 2n, le nombre des variations de signes obtenues en faisant le tour de cette face sera, au plus, 2n ; et si le nombre des côtés d'une face est impair et égal à 2n+l» le nombre des variations de signes ne surpassera pas 2n.
Gela posé, soient a le nombre des faces triangulaires, b le nombre des faces quadrangulaires, etc, ; nous aurons
D'ailleurs, 2A=3a+4&-+-5c+6d-+-7<?+...,
F=sa + fc+c + ...;
d'où. 4A— 4F=2a-M& + 6c + 8d + 10*+...
Mais, par le théorème d'Euler, S + F=A + 2; donc
4S=8+2a+46+6c+8d + 10éH-...; et, à cause de l'inégalité ci-dessus, N^4S — 8.
Or, nous avons trouvé N>4S. Par conséquent, le nombre N serait inférieur à 4S — 8 et supérieur à 4S; ce qui est absurde. Donc il n'est pas possible que les deux polyèdres convexes P, P' ? qui ont toutes leurs faces égales chacune à chacune, n'aient pas en même temps tous leurs angles polyèdres égaux chacun à chacun. Donc ces deux polyèdres sont égaux.
241 TfflftORfeMES ET PROBLKMBS
THÉORÈME XIV
4° Dans loat tétraèdre, les droites menées des sommets aux centres des moyennes distances des faces opposées, se coupent tontes les quatre en un même point, centre des moyennes distances des sommets dn tétraèdre. Ce point est situé aux trois quarts de chaque droite, à partir du sommet d'où elle est menée.
1° Dans tout tétraèdre, les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées se coupent mutuellement en deux parties égales, au centre des moyennes distances des quatre sommets du tétraèdre.
Ces deux théorèmes résultent immédiatement des propriétés du centre des moyennes distances, énoncées dans le Livre Y. Ajoutons que la démonstration directe serait fort simple.
THÉORÈME XV
Les droites qui joignent les sommets homologues de deux polyèdres semblables et semblablement placés, se coupent en un même point.
(Voyez Th. V,Liv. III.)
THÉORÈME XVI
Les centres de similitude de trois polyèdres semblables et semblablement placés sont en ligne droite.
(Voyez Th. VII, Liv. III.)
THÉORÈME XVII
Les six centres de similitude de quatre polyèdres P, F, P", P" f , semblables et semblablement placés, sont dans un même plan.
D'nprès le théorème précédent, les quatre polyèdres, considérés trois a trois, ont quatre axes de similitude, les-
quels contiennent chacun trois des six centres de similitude. De plus, chaque centre de similitude est à la fois sur deux axes : par exemple, le centre de similitude des polyèdres P', P" est situé sur Taxe des polyèdres P, P', P /; , et aussi sur Taxe des polyèdres P, P", F". Donc les quatre axes et, par suite, les six centres, sont dans un même plan, nommé flan de similitude.
THÉORÈME XVIII
Dans (oui tétraèdre, le plan bisseeteur de chaque angle dièdre partage l'arête opposée en deux segments proportionnels aux aires des faces adjacentes.
Considérons le plan AED, qui divise en deux parties Fig. 207. égales l'angle dièdre dont l'arête est AD. 11 s'agit de démontrer que
bk ABD
