BE' IB

CE' ic

Mais il est facile de voir que B'E', CE' sont proportionnelles à BE, CE ; et que B'I, CI sont égales, respectivement, aux perpendiculaires abaissées des points B, C sur AD, base commune des triangles ABD, ACD. La propor-

246 THÉ0RÈ1BS ET PtOBLÈMBS

lion précédente revient donc à celle qu'il s'agissait de démontrer.

Déterminer la hauteur d'un tétraèdre dont les arêtes sont données.

Fig. 298. Soit SABG un tétraèdre, dans lequel nous prendrons ABC pour base, et SP pour hauteur correspondante. Du point P, projection du sommet S, abaissons PD perpendiculaire sur BC, puis menons SD : cette dernière droite sera perpendiculaire à BG.

Supposons maintenant que nous fassions tourner la face SB autour deBC, jusqu'à ce qu elle vienne se rabattre dans le plan ABC. Dans ce mouvement, la droite DS n'aura pas cessé d'être perpendiculaire à BC ; donc, lorsque les plans des deux faces coïncideront, cette droite DS viendra en DS' sur le prolongement de PD. Ainsi, quand on fait tourner une des faces du tétraèdre autour du côté commun à cette face et à la base, jusqu'à ce qu'elle vieune coïncider avec le plan de la base, le rabattement du sommet et le pied de la hauteur du tétraèdre, sont situés sur une même perpendiculaire à Taxe de rotation.

Fig. 299. Soit actuellement, en vraie grandeur, ABC la base du tétraèdre, et soient BCS', ACS /; , ABS'" les rabattements des trois autres faces. Nous aurons

AS"=AS"\ BS'=BS", CS'=CS".

Si, des points S', S", S'", nous abaissons des perpendiculaires sur les côtés correspondants, ces trois droites devront se couper en un même point P, projection du sommet inconnu. En outre, la hauteur SP est un côté de l'angle droit du triangle APS, dans lequel AS=rA8" est l'hypoté-

DB GÊOMftntlE ÉLftttKTAIRB. i!7

mise. Si donc nous décrivons une demi-circonférence sur AS" comme diamètre; si, du point A comme centre, nous traçons l'arc PD ; et si nous menons S ;/ D, cette droite sera égale à la hauteur du tétraèdre*

Lorsque les arêtes seront données en nombres, on pourra calculer, d'après cette construction, l'expression de la hauteur du tétraèdre, et ensuite déterminer le volume de ce corps ; mais cette méthode est moins simple que la suivante. #

Calculer, en fonction des arêtes, le volume d'an tétraèdre.

Considérons d'abord le cas où les arêtes SA, SB, SC Fig. 298. seraient égales entre elles. Alors le point P, projection du sommet S, est évidemment le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; et la droite AP est le rayon R de ce cercle. Si donc nous représentons par a, (3, y les côtés BC, AG, AB de la base, par à la longueur commune des arêtes, par h la hauteur du tétraèdre, et par A Taire de sa base , nous aurons

Le volume v sera ensuite donné parla formule V=^ Aft; d'où, en faisant la substitution indiquée,

Soit actuellement un tétraèdre quelconque SABG ; dési- Fig. 300. gnons par a, b, c les trois côtés de la face ABC , et par a', fc', c' les arêtes SA, SB, SC, respectivement opposées à

ces côtés. Si nous prenons les distances SA', SB', SC égales à une longueur quelconque d, nous formerons un tétraèdre SA'B'C dont le volume sera donné parla formule précédente. D'ailleurs, ces deux tétraèdres, ayant un angle trièdre commun, sont entre eux comme les produits des arêtes qui comprennent cet angle ; de telle sorte que si nous appelons V le

volume cherché, nous aurons V=-^r ; et il ne s'agira plus

que d'exprimer, en fonction des données et de $ } les arêtes

«, ft 7- • Fie 501. Pour cela, considérons le triangle ABS et le triangle isocèle A'B'S, qui ont un angle commun S. Abaissons, des sommets B, B', les perpendiculaires BD, B'D' sur le côté AS. Nous aurons, à cause des triangles semblables, .sd SB v m

SB! SB' y ;

puis, dans les triangles SA'B', SAB :

y*=2<î'— 2$.SD', c*=a'*+fc' 2 -2a'.SD.

Ces deux équations donnent

SD q'«-t-y«— ç» $

SD' — **"— y» •£"

»°nc -JF=l*-â<=S>

Une permutation tournante donne ensuite

a — ° Vc 1 »

n% vj (b+c'-a')(b-c'+a f ) P Q c'a'

Observons maintenant que le produit

P=( a +/3+y)( a +/3-y)(a+y-/3)(^+y-a) devient, étant développé,

Par conséquent, si, pour abréger, nous posons ( a+ b '— c') (a- b'+ c')=m\ (b+c'—a')(b—c'+a')=n* 9 [c+a'—b'Kc—a'+V^f,

nous obtiendrons d'abord

puis

et ensuite

V=j5^-a' 8 m«-6'«n«— c'^ l -*-8a'6'mV4-2&'c , n*p î -+-2c'a'iï»m t — m»ny.

La quantité placée sous le radical peut élre décomposée de cette manière :

— (a'ro*— W)*— p*(ro«— «>V)(n*— ia'c')4- 8a'ô'c'*p« - c V(P*- Sa'b') .

Conséquemment, si Ton pose

m 2 — 2&'c'=m' 2 , n 2 — 2c'a'=n' 2 , p 2 — 2a'fr'=p' 2 ,

on aura, au lieu de cette même quantité, ou, en réduisant,

— a'hn'*- &'«n'«— c'y*— ro'«» '«p'M- 4 a'6'»c".

L'expression du volume devient donc