V- ^j/iûWV 8 - a'»!»'*— 6'V«— c ,8 p ; *— m'»n'V«. (B

Observons maintenant que les valeurs de ni 2 , n 2 , p 2 donnent

m'*=a*— (b'— c')*-2&'c'=a 2 — ft' 2 — c' 2 , w' 2 =& 2 --(c'-a') 2 — 2c'a'=ft 2 — c' 2 -a' 2 , p' 2 =c 2 ~ («'— fc') 2 — 2a i'^c 2 — a' 2 — fc' 2 .

280 TBÉORifttfi bt raotiAus

Dans chaque cas particulier, on calculera les quantités m'*, w'*, p'*, après quoi on substituera leurs valeurs dans la formule précédente. Mais si nous voulons exprimer Y en fonction explicite des arêtes, commençons par former les différents termes de la quantité placée sous le radical. Nous aurons ainsi :

(5'i +c '>)6« c i- + -(6'i4-c'>)(6'î+a'* i &« ( c '«|o'i)c«a«4-(c'«-Hï'*)(c'*-4-6'«)c*.

La somme des seconds membres peut être mise sous la forme

la'W*— a tt a ,a (6«^c»-^«+6' a 4-c'«-a' , )-^'6 , *(c«4^ a -^M-<^H»' > -&'')

La formule cherchée est donc enfin :

1 2 V Lc , c' , (a , 4-6 , -c , 4^' , +ft ,, -Hî , •)-a , ^ 4 -a , 6'•c n -6 , c ^ a ,, -c , a ,, 6' , ; ' '

Couper un tétraèdre ABC par un plan P, parallèle au Jeu arêtes opposées AC, BD, de manière que II section EFGB toit in rnsdato.

Fig. 302. Le plan P, étant parallèle à BD, doit couper les deux faces ABD, GBD suivant des parallèles à cette arête. De même, il coupera les deux autres faces du tétraèdre suivant des parallèles à l'arête ÀG. Conséquemment, le quadrilatère EFGH est un parallélogramme dans lequel l'angle H6F est égal à l'angle des arêtes AC, BD.

Il résulte, de cette observation, que ce parallélogramme sera maximum en même temps que le rectangle construit sur les deux côtés HG, GF.

DU GtOM*Tin ÉLÉBK1TAWE. 9&i

Or, à cause des parallèles,

HG=ÀC.J§, GF=BD.jg; d'où HG . GF= ^r • BG . GC.

BC

Dans le second membre, tout est constant, à l'exception des deux segments BG, GC de l'arête BC. D'après un théorème connu, le rectangle de ces deux segments sera le plus grand possible quand ils seront égaux entre eux, c'est-àdire quand le point G sera le milieu de BC.

Il faut donc, pour résoudre le problème, mener le plan P de manière qu'il soit également distant des deux arêtes opposées AC, BD.

Par les milieux K, F de deux arêtes opposées d'un tétraèdre ABCD, on fait passer une infinité de plans. Quel est celai qai détermine la section la plus petite en surface?

Soit EGFHle quadrilatère déterminé par l'un quelconque Fig. 303. des plans sécants. Menons la diagonale EF, et abaissons, des sommets G, H, les perpendiculaires GG', HH' sur FE.

Le quadrilatère a pour mesure jEF.(GG'+HH').

Si le plan sécant tourne autour de EF, le facteur GG'+HH' variera de grandeur, l'autre étant constant. II suit de là que le quadrilatère EGFHsera minimum, lorsque la somme des perpendiculaires GG', HH' sera la plus petite possible.

Par la droite EF menons un plan P, parallèle aux arêtes AC, BD (Prob. III). Généralement, les droites GG', HH', parallèles entre elles , sont obliques à ce plan ; de plus ,

252 THÉORÈMES ET FftOBLftUS

elles sout égales entre elles, parce que le plan P est également distant des arêtes AC, BD. Leur somme sera donc un minimum quand elles seront perpendiculaires au plan. Alors GG' sera la commune perpendiculaire aux droites BD, EF; HH' sera la commune perpendiculaire aux droites EF, AC ; et le plan EGFH sera perpendiculaire à P. Ainsi, pour résoudre le problème proposé :

Faites passer par la droite EF un plan P , parallèle aux arêtes AC, BD ; par cette même droite, menez un plan P' perpendiculaire au premier : il déterminera la section miuiraum.

Partager une pyramide quadraogulaire régulière SABCD en deux parties équivalentes, au moyen d'un plan BEFG passant par l'un des côtés de la base.

Fig. 504. Par le sommet S, menons un plan SGH, perpendiculaire aux arêtes AD, BG : il partagera la figure en deux parties symétriques; en sorte que si nous abaissons SO perpendiculaire à la base , et SP perpendiculaire au plan cherché CEFB, ces deux droites, hauteurs des pyramides SABCD, SEFBG, seront contenues dans SGH.

Les volumes de ces deux pyramides sont proportionnels

à AÊKSO et *£±H-ffi.SP. Or, si nous abaissons HM perpendiculaire à SG, nous aurons

AD.SO=GH.SO=SG.HM, et lâ.SP=SI.HM.

Nous pourrons donc remplacer les quantités ci-dessus par AD.SG et *£±H.SI.

Observons actuellement que la pyramide SEFBC doit être équivalente à la moitié delà pyramide donnée; d'où ÀD.SG=(ÀD+EF)SI.

Dans cette égalité, remplaçons AD, EF par les longueurs proportionnelles SG, SI ; et nous aurons