LIVRE VIL

THÉORÈME L

Deux point» réciproques pir rapport i une sphère partagent karwoniqueweni le diawèlre qui les contient.

(Voyez Th. XVI, Liv. III.)

THÉORÈME IL

Les distances d'un point quelconque d'une sphère, à deux points réciproques, sont dans un rapport constant.

(Voyez Th. XVII, Liv. III.)

THÉORÈME III

1° Les tangentes menées à une sphère S, d'un point extérieur A, sont égales entre elles; 2° le lieu de ces tangentes est une surface conique de révolution; 3° le lieu de leurs points de contact est une circonférence située dans un plan P perpendiculaire au diamètre EF passant par A.

Fig. 31 7, Par le diamètre EF, faisons passer divers plans : ils couperont la sphère suivant les circonférences EBF, ECF, EDF... Menons, à ces lignes, les tangentes ÀB, AC, AD,... et les rayons BO, CO, DO... Nous obtiendrons ainsi des triangles rectangles ABO, ACO, ADO..., évidemment égaux entre eux. Donc, 1° les tangentes AB, ÀC, AD... sont égales entre elles.

À cause de l'égalité des mêmes triangles, les angles BAO, CAO, DAO... sont égaux entre eux; ainsi, 2° le lieu des tangentes est une surface conique de révolution.

Enfin, si nous abaissons, des points B, C, D..., les perpendiculaires fil, CI', DF... sur AO, toutes ces droites seront égales entre elles; et les points I, I', F... se confondront, parce que les triangles rectangles ABI , ACF, ADF... sont, d'après ce qui précède, égaux entre eux. Donc, 3° le lieu des points de contact B, C, D... est une ligue plane, etc.

Remarques. I. On peut abréger considérablement la démonstration précédente , en supposant que la figure ABFE tourne autour de AO. Dans ce mouvement, la demicirconférence EBF engendre la surface sphérique S ; la droite AB , qui ne change pa# de longueur, engendre une surface conique, circonscrite à la sphère; enfin , le point de contact B décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à Taxe de rotation.

IL Le point E est le pôle du petit cercle BCD ; donc les arcs de grands cercles EB, EC, ED... sont égaux entre eux.

THÉORÈME IV

Le sommet d'un cône G, circonscrit à une sphère S, est le pôle du plan P de la circonférence de contact.

On appelle plan polaire d'un point A, relativement à Fig. 317. une sphère S, le plan perpendiculaire au diamètre AO, mené par le conjugué du point A. Réciproquement, le point A est le pôle du plan.

Cette définition étant admise, le théorème consiste en

272 THÉOAÈMBS ET PftOBLÈMBS

ce que le poiut I , où le plan P coupe AO, est le conjugué du point A , etc. (Voyez Th. XVIII , Liv. III.)

THÉORÈME V

Le pèle À' de tout plan P', passant par un point A, est situé sur le plan polaire P de A.

Par le centre de la sphère S, concevons un plan Q, perpendiculaire aux deux plans P, P'. Ce nouveau plan coupera les deux autres suivant deux droites, dont Tune D' passe par le point A, et dont l'autre D sera la polaire du point A , relativement à la circonférence C déterminée par le pian sécant. Il est facile de voir, maintenant , que le pôle du plan P', relativement* à la sphère S, se confond avec le pôle de la droite D', relativement à la circonférence C. La proposition est donc ramenée au Théorème XIX du Livre III.

THÉORÈME VI

Le plan polaire P' de tout point A', pris sur un plan P, passe par le pèle A de P.

(Voyez Th. XX, Liv. III.)

Corollaike. Si chacun des points d'un plan P, extérieur à une sphère S, est pris pour sommet d'un cône circonscrit à la sphère, les plans des circonférences suivant lesquelles tous les cônes ainsi déterminés touchent la sphère se coupent en un même point A , pôle du plan P.

THÉORÈME VU

le pôle A de tout plan P, passant par une droite D, est situé sur la droite D', réciproque de la première.

Nous conviendrons d'appeler droites réciproques deux droites passant par deux points réciproques, perpendiculaires entre elles, et perpendiculaires au diamètre qui contient les deux points.

Cela étant, prenons pour plan de la figure celui qui passe Fig. 318. par le centre de la sphère et par la droite D'. Abaissons OE' perpendiculaire à cette dernière droite, et soit E le point réciproque de E' : la droite D sera la perpendiculaire au plan de la figure, projetée en E ; et le plan P aura pour projection une droite telle que BEC. D'ailleurs, le pôle A du plan P est le conjugué du pied A' de la perpendiculaire abaissée sur ce plan, par le centre de la sphère (Th. IV). Donc ce pôle est situé sur la droite D'.

THÉORÈME VIII

Le plan polaire P de tout point A, pris sur une droite D', passe par la droite D, réciproque de la première.

(Voyez Th. VI.)

THÉORÈME IX

Toute corde, menée par un point A, esi divisée harmoniquement par ce point et par son plan polaire P.

Par la corde et par le centre de la sphère, faisons passer un plan'Q ; il coupera la sphère suivant une circonférence de grand cercle; et il coupera le plan P suivant une droite,

274 THÉOftfeKBS tit tftOBLftKB*

polaire du point A par rapport à cette circonférence (Th. V); donc, etc. (Voyez Th. XXI, Llv. III.)

THÉORÈME X

Le lien des pôles d'une droite D, relativement à loos les cercles situés sur une sphère S et passant par cette droite, est la droite D r , réciproque deD.

Fig. 319. Soit la circonférence de grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite D. Soit, en outre, A la projection de celle-ci. Tout petit cercle de la sphère, passant par cette droite D, sera projeté suivant une corde BG passant par ce point A; et il aura BC pour diamètre. Conséquemment, le pôle M de la droite D, par rapport à ce petit cercle, est situé sur la corde BC. Et comme le diamètre BC doit être partagé harmoniquement par D et par M, il s'ensuit que ce pôle est l'intersection de BC avec la polaire EF du point A, relativement au grand cercle 0. Le lieu des pôles de la droite D est donc cette droite EF, laquelle est évidemment la réciproque de D*

THÉORÈME XI

Le lieu des polaires d'un point A, relativement â tous les cercles situés sur une sphère S et passant par ce point , est le plan polaire de ce même point.

La démonstration est analogue à celle du théorème précédent.

Dg GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 275

THÉORÈME XII

Le lieu géométrique des points d'égale puissance, par rapport à deux sphères S, S', est un plan P, perpendiculaire à la ligue des eentres.

On reconnaît facilement que si , par un point fixe , on fait passer une droite quelconque, terminée de part et d'autre à une sphère donnée, le rectangle des segments de cette corde, déterminés par le point , est constant.

Ce rectangle constant est appelé puissance du point par rapport à la sphère.

Cela posé, la proposition est immédiatement ramenée à la proposition analogue de Géométrie plane. (Voyez Th. XXVII, Liv. III.)

Remarques. I. Le plan P est appelé plan radical des sphères S, S'. Il se confond avec le lieu des points d'où Ton peut mener aux deux sphères des tangentes égales.

II. Si les sphères se coupent, le plan radical contient la circonférence commune.

III. Si les sphères se touchent, le plan radical est le plan tangent commun.

THÉORÈME XIII

Les plans radicaux de trois sphères, considérées deux à deux, se coupent suivant une droite D, perpendiculaire au plan des trois centres.

(Voyez Th. XXVIII, Liv. III.)

Remarques. I. La droite D est Yaxe radical des trois sphères.

II. Si trois sphères se coupeût deux à deux, les plans des circonférmces communes se coupent suivant une même droite, etc.

276 THÊORfeUS KT PROBLÈMES

THÉORÈME XIV

Les plans radicaux de quatre sphères, considérées trois à trois, se coupent tous les quatre en nn même point, appelé centre radical des quatre sphères.

(Voyez Th. XXVIII, Liv. ffl.)

THÉORÈME XV

Le lieu des points d'égale puissance, par rapport à deux cercles situés sur une même sphère, est l'intersection des plans de ces cercles.

Observons d'abord que toute corde , soit du premier, soit du second cercle , est une corde de la sphère. Doue tout poiut pris sur l'intersection des plans de ces cercles est un point d'égale puissance par rapport à ceux-ci.

D'un autre côté, par un point non situé sur cette intersection, on ne peut faire passer, à la fois, une corde du premier cercle et une corde du second ; ce point ne saurait donc appartenir au lieu dont il s'agit.

THÉORÈME XVI

Deux arcs de grands cercles PA, PB, passant par un même point P, et tangents à un petit cercle G, sont égaux entre eux.

Fig. 319. Soit AT la tangente commune au grand cercle PA et au petit cercle C. Soit , de même , BT la tangente commune aux cercles PB et G. Ces deux tangentes, étant contenues dans un même plan, se couperont généralement en un point T, situé sur l'intersection POP' des plans des deux grands cercles. Donc (Th. III) elles sont égales, et les arcsPA, PB sont égaux.

Remarque. La circonférence de grand cercle PAP', tangente au petit cercle C, est dite tangente sphérique de ce petit cercle.

THÉORÈME XVII

Le lieu des points P d'où l'on peut mener à deux cercles C, C, situés sur une sphère S, des tangentes sphériques égales, est une circonférence de grand cercle dont le plau passe par Pinlersection des plans des deux cercles.

Du point P comme pôle, avec PA pour rayon sphérique, Fig. 320. décrivons le petit cercle ABA'B' : il coupera les cercles C, C aux points A, B, A', B', où les tangentes sphériques PA, PB, PA', PB' touchent ces petits cercles (Th. XVI). De plus, les tangentes en A, B, A', B', h ces tangentes sphériques, vont concourir en un point T, situé sur le rayon OP prolongé. Or, le point T appartient évidemment à l'intersection RR' des plans des deux petits cercles. Donc le lieu des points P est situé dans un plan passant par le centre de la sphère et par l'intersection RR\

Remarques. I. La tangente AT à l'arc de grand cercle PA, est, par hypothèse, tangente au petit cercle G. De plus, la tangente AH au cercle ABA'B' est perpendiculaire à AT : c'est ce que l'on reconnaît en observant que les plans des cercles PA, ABA'B' sont perpendiculaires entre eux, et que AH est perpendiculaire à leur intersection AI. Donc le cercle ABA'B' coupe orthogonalement le cercle C, le cercle G', et enfin tous les cercles dont les plans passent par la droite RR'.

II. Si le point T se déplace sur la droite RR', le cercle orthogonal ABA'B' variera ; mais le plan de ce cercle est le

plan polaire du point T (Th. YI) ; donc il passe constamment par la droite réciproque de RR' (Th. VIII); donc toutes les circonférences telles que ABA'B' se coupent en deux points fixes F, F', qui sont ceux où la surface de la sphère est rencontrée par la droite réciproque de RR'.

THÉORÈME XVIII

Si l'on conçoit, sur une sphère, une infinité de circonférences G dont les plans passent par une droite D, et une infinité de circonférences C dont les plans passent par la droite D', réciproque de D, chacune des premières circonférences coupe orthogonalement chacune des dernières.

Ce théorème est évidemment contenu dans les deux remarques précédentes.

THÉORÈME XIX

Le sommet A d'un angle sphérique CAD (fig. 321) , circonscrit à un cercle directeur CDE, a pour cercle conjugué celui qui passe par les joints de contact G , D.

Fig. 322. Supposons que , par le centre de la sphère , on fasse passer un plan perpendiculaire à un cercle situé sur la sphère. Soit alors CD la projection de ce cercle, lequel a pour centre et pour pôle les points I et P; et soient A', B' deux points réciproques, ou conjugués par rapport à ce même cercle, c'est-à-dire deux points satisfaisant à la relation

ïa\ib'=ïd!

Si Ton conçoit les deux rayons OA', OB', ils rencontreront la surface de la sphère en deux points A , B , situés sur la circonférence de grand cercle ACD : ces points A, B seront dits conjugués par rapport au cercle directeur CD.

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Ainsi, deux points A, B, situés sur la circonférence d'un grand cercle perpendiculaire à un cercle directeur CD, sont dits conjugués par rapport à celui-ci, lorsque les droites menées du centre de la sphère à ces deux points rencontrent le plan du cercle directeur en deux points réciproques (*).

En second lieu, nous conviendrons d'appeler cercle conjtirjuè d'un point A, le grand cercte BO mené par le point conjugué dé celui-ci, perpendiculairement au grand cercle qui contient les deux points.

Réciproquement, le point A est dit conjugué du cercle OB.

Enfin , deux grands cercles AO , BO , menés par deux points conjugués, perpendiculairement au grand cercle qui contient les deux points, sont appelés cercles conjugués (**).

Ces définitions étant entendues, la démonstration du théorème est facile.

En effet, soient CA', DA' les droites suivant lesquelles Fie 321, les plans des grands cercles AC, AD coupent le plan du cercle CED ; ces droites, tangentes a ce petit cercle, se couperont en un point A', pôle de la corde de contact CD; et le milieu B r de cette corde de contact sera le point réciproque du point B. De plus, toute la figure est symétrique par rapport au plan OA'B'. Donc le grand cercle CBD est conjugué du point A.

(VoyezTh. XVII, Liv. III.)

(*) Les lecteurs à qui les définitions de la Trigonométrie sont familières verront immédiatement qu'en désignant par a, p, 7 tes arcs PA, PB, PC, on a

tang. a. tang. p^tang*^.

(**) Ces dénominations, ainsi que la plupart des théorèmes contenus dans ce VII e Livre, m'ont été suggérées par la lecture d'un très-intéressant Mémoire sur la sphère, dont l'auteur est M. Heegmann, de Lille.

THÉORÈME XX

Le conjugué h! de tout grand cercle G' passant par un point A est sur le grand cercle C conjugué de À.

Imaginons des droites menées du centre de la sphère à tous les points de la figure, et prolongées jusqua ce qu'elles rencontrent le plan du cercle directeur D : le lieu des points d'intersection sera une figure plane qui pourra être regardée comme une transformée de la figure sphérique donnée. Ainsi, les cercles G, C seront transformés en deux droites c, c f ; et les points A, A' seront transformés en deux points a 9 a'.

Actuellement, de ce que le cercle C est conjugué du point A, il est facile de conclure que la droite c est la polaire du point a, relativement au cercle D. De même, la droite c 1 est la polaire de a'. Mais cette dernière droite c' passe évidemment par le point a ; donc son pôle a' est situé sur la droite c (Th. XXII, Liv. III) ; donc le point A ' est situé sur la circonférence C.

Remarque. La transformation dont nous venons de faire usage s'appelle transformation conique ou transformation perspective : elle ramène, dans un grand nombre de cas, les théorèmes de la Géométrie sphérique aux théorèmes de la Géométrie plane. Gomme application de cette méthode, nous indiquerons les propositions suivantes, en nous contentant de les énoncer.

THÉORÈME XXI

Le grand cercle G', conjugué de tonl point A' pris snr nn grand cercle G, passe par le point A, conjugué de ce dernier cercle.

Corollaire 1. Si, par un point A, pris sur la surface de la sphère, on fait passer un arc de grand cercle ABC coupant en deux points B , C un petit cercle donné BC ; que, par ces deux points, on mène à ce petit cercle deux tangentes sphériques BM, CM; le lieu du point de rencontre M de ces tangentes est une circonférence de grand cercle.

Corollaire 2. Si, par différents points M, M', M",... pris sur une circonférence de grand cercle, on mène, à un petit cercle donné D, des tangentes sphériques, les arcs de grands cercles BC, B'C\ B"CV« qui joignent les couples de points de contact, passent tous par le même point A.

(Voyez Th. XX, Liv. III.)

THÉORÈME XXII

Si les arcs de grands cercles qui joignent les sommets correspondants de deux triangles sphériques se coupent en un même point, les points de concours des côtés opposés sont situés sur une même circonférence de grand cercle. - — Et réciproquement.

(Voyez Th. X, Liv. III) (*).

(*) On a vu, à l'endroit cilé, que si les poinls de concours des côtés correspondants de deux triangles rectilignes sont situés sur une même droite D, ces deux triangles sont dits homologiques. En outre, la droite D est Vaxed'homologie; elle point de concours des droites menées par les sommets correspondants est le centre (Thomologie.

D'un autre côté, on sait (Th. V, Liv. III) que deux polygones rectili-

382 THfOftfeMftS R PfcOltfcMB

THÉORÈME U\\l.

Si deux polygones sphériques sont eomposés[d'an même nombre de triangles tels, que les points de concours de deux côtés homologues quelconques, pris dans deux triangles correspondants, soient tous situés sur une même circonférence dt grand cercle , les arcs de grands cercles qui joignent les sommets hotoologues'dc cet deu polygones se coupent lois en un même peint.

Remarque. La réciproque n'est pas toujours vraie.

THÉORÈME XXIV

Dans tout quadrilatère sphérique, inscrit à un petit cercle, le point de rencontre des diagonales, et les points de concours des côtés opposés, forment un triangle dans lequel chaque sommet est conjugué au côté opposé.

(Voyez Th. XXXVI, Liv. III).

gnes, semblables et semblablement situés, c'est-à-dire deux polygones homothéliqueSf ont un centre de similitude.

L'ensemble de ces deux propositions prouve que deux triangles rectiligneSy semblables et semblablement placés, sont deux figures homologiques ayant leur axe entomologie transporté à V infini; de sorte que la similitude, ou plutôt Vhomothétie, est un cas particulier de ïhomologie.

Si l'on passe des figures planes aux ligures spbériques, au moyen de la projection conique, on n'aperçoit plus aucune différence entre l'bomotbélie et l'homologie : deux triangles rectilignes, soit homotbétiques, soit homologiques , donnent toujours lieu à deux triangles spbériques tels, que les points de concours de leurs côtés correspondants sont situés sur une circonférence de grand cercle.

Par suite, la propriété dont jouissent deux polygones rectilignes homothétiques, d'avoir un centre de similitude ou d'homothétie, est remplacée, quand on passe aux ligures sphériques, par une propriété plus générale, énoncée dans le Théorème XXIII.

Nous n'avons pas besoin d'ajouter que. cette généralisation de la théorie du centre de similitude subsiste pour les figures planes.

(Sur toutes ces questions, le lecteur peut consulter les beaux travaux de M. Chasles.)

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THÊORÈMB XXV.

Dans tout quadrilatère sphérique complet, circonscrit à on petit cercle, chacune des diagonale* est conjuguée au point d'intersection des deux autres.

(Voyez Th. XXXVII, Liv. III.)

THÉORÈME XXVI

Si deux quadrilatères spbériques sont, l'un inscrit et l'autre circonscrit à un même petit cercle, de manière que les sommets du premier soient les points de contact des côtés du second : 1° les points de concours des côtés opposés de ces quadrilatères sont situés sur une même circonférence de grand cercle; 8° les diagonales des deux quadrilatères se coupent en un même point, conjugué à cette circonférence; 2° les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit sont situés sur les diagonales du quadrilatère circonscrit.

(Voyez Th. XXXVIII, Livre III.)

THÉORÈME XXVII

Dans tout hexagone sphérique, inscrit à un petit cercle, les points de concours des côtés opposés, pris deux à deux, sont tous les trois sur une circonférence de grand cercle.

(Voyez Th. XXIV, Liv. III).

THÉORÈME XXVIII

Dans tout hexagone sphérique, circonscrit à un petit cercle, les diagonales menées par les sommets opposés, pris deux à deux, se coupent en un même point.

(VoyeeTh. XXV, Liv. m.)

THÉORÈME XXIX

Dans tout triangle sphérique, inscrit à an petit cercle, les points de concours des côtés avec les tangentes sphériques aux sommets opposés sont situés sur une même circonférence de grand cercle.

(Voyez Th. XXVI, Liv. III.)

THÉORÈME XXX

Par deux cercles AEB, CFD, tracés sur une sphère, on peut généralement faire passer un cône.

Fig. 323. Soit BACD le grand cercle perpendiculaire aux deux cercles donnés; et soient AB, CD, les cordes suivant lesquelles ceux-ci se projettent sur le plan BACD. Les droites AC, BD, étant prolongées, se couperont généralement en un point S, qui pourra être considéré comme le sommet d'un cône oblique ayant pour base le cercle AEB.

Cela posé, je dis que la courbe suivant laquelle ce cône coupera de nouveau la surface de la sphère est la circonférence CFD.

Prenons sur AEB un point quelconque M, et soit N le point où la génératrice SM du cône perce la surface de la sphère. Abaissons SP perpendiculaire à AB : cette droite sera la hauteur du cône. Enfin, joignons le point M au point P ; puis, dans le plan MSP, élevons NQ perpendiculaire à SM.

Le quadrilatère NMPQ, qui a deux angles opposés droits, est inscriptible ; donc