SP.SQ = SA.SC

Cette dernière exprime que le point Q est le pied de la perpendiculaire abaissée du point C sur SP ; donc ce point Q est indépendant de la position du point N ; donc la courbe d'intersection du cône et de la sphère donnée appartient à une autre sphère ayant QS pour diamètre, etc.

Remarques. I. Indépendamment du cône S, il en existe en général un autre , ayant pour sommet, ou plutôt pour centre, le point de rencontre S' des diagonales AD, BC.

II. Si les deux cercles AB, CD sont égaux, le cône S se transforme en un cylindre qui est généralement oblique.

III. Les angles SAB, SDC, qui mesurent les inclinaisons des plans AEB, CFD sur les génératrices opposées SA, SB, sont égaux, comme ayant même supplément. Pour cette raison, les sections circulaires AEB, GFD sont dites antiparallèles.

IV. Prolongeons les cordes AB, CD, projections des deux Fig. 324. cercles, jusqu'à ce qu'elles se coupent en un point G : ce

point sera, sur le plan du grand cercle BACD, la projection de l'intersection des plans des deux circonférences. Or, dans le quadrilatère inscrit ABCD, le point S est le pôle de la droite S'G (Th. XXXVI, Liv. III); et le point S'est le pôle de la droite SG ; ainsi :

Quand deux cercles sont situés sur une sphère, V intersection de leurs plans est confondue avec la droite suivant laquelle se coupent les plans polaires des sommets des deux cônes déterminés par ces cercles»

On peut simplifier cet énoncé, en observant que, d'après

THÉOltaUS BT PlOiLÈMBS

le Théorème VII, cette dernière droite est réciproque de la

droite SS'; doue, en résumé :

Quand deux cercles sont situés sur une sphère, V intersection de leurs plans est la droite réciproque de celle qui joint les sommets des deux canes déterminés par ces cercles.

V. D'après la démonstration précédente , si un cône pénètre une sphère, et que la courbe d'entrée soit une circonférence, la courbe de sortie est pareillement une circonférence.

Fig. 323. VI. SE, SM étant deux génératrices, qui rencontrent aux points F, N la section antiparallèle du cône, on aura SM . SN = SE . SF. Ainsi, les points oU deux génératrices quelconques d'un cône rencontrent deux sections mtiparallèles, sont les sommets d'un quadrilatère inscriptikle.

VIL La sphère qui a pour pour diamètre le segment SQ de la hauteur SP du cène AEBS, détermine la section antiparallèle CFD. D'ailleurs, le point Q est arbitraire. Donc toute sphère qui passe par le sommet d'un cône à base circulaire, et qui a son centre sur la hauteur du cône, coupe ce cône suivant une circonférence.

VIII. Il est évident, par la théorie des figures semblables, que tout plan parallèle au plan du cercle GF ooupe le cône S suivant une circonférence. En particulier, si le cercle CD se réduit à un point, le cône a son sommet sur la sphère, et le plan du cercle CD devient tangent à cette der* nière surface, au sommet du cône. Donc, tout cône quia pour base et pour commet un weUet un point de la sphère, est coupé suivant un wxcte par un plan quelconque parallèle au plan mené par le sommet, langentiellement à la sphère.

Dl OtaatHUB tUfeUNf AI1I. 987

THÉORÈME XXXI

Si on tmh vatiabte I ost langent à deux cercles AB , CD, tracés sur «ne

sphère :

1° Lej deoi pointe de tentai M, N appartiennent à une génératrice du

cône déterminé par les cercles donnés; 2° La circonférence de grand cercle passant par ces deux points coupe,

sous un même angle, les circonférences données; 3° Toutes les circonférences de grands cercles ainsi déterminées se coupent

en deux points fixes ou foyers F, G, situés sur le diamètre qui passe par

le sommet S du cône.

Conservons les constructions employées dans le théo- Fig. 325. rème qui précède, et soit en outre SM'N' une génératrice du cône, différente de SMN. D'après l'avant-dernière remarque, les points M', N, M, N' appartiennent à une même circonférence, située sur la sphère. Si nous imaginons que la génératrice SM'N' se rapproche indéfiniment de la génératrice SMN, cette circonférence, continuellement se* cante à l'égard des cercles donnés, tendra vers une position limite IMN. Eu même temps, les prolongements des cordes communes M'M, N'N auront pour limites les tangentes MT, NT.

La première partie du théorème se trouve ainsi démontrée.

D'un autre côté, le plan mené par le centre de la sphère et par les points de contact M, N, renferme le diamètre OS ; donc toutes les circonférences de grands cercles, telles que GMNF, se couperont aux extrémités G, F de ce diamètre. Eu outre, les tangentes à cette circonférence, aux points M, N, feront, avec les tangentes MT, NT, des angles égaux entre eux.

288 THftOHÈMBS BT PROBLÈMES

En effet, le plan qui serait élevé par le milieu de UN, perpendiculairement à cette droite, serait un plan de symétrie pour les tangentes égales MT, NT, pour le grand cercle GMNF, et enfin pour les tangentes en M, N, à ce grand cercle. D'ailleurs, deux angles symétriques sont égaux ; donc, etc.

Remarques. I. Si, au lieu de considérer le cône dont le sommet est extérieur à la sphère, on prenait le cône ayant pour sommet le point de rencontre des diagonales AD, BC, on arriverait aux mêmes conséquences. Ainsi, deux cercles tels que AB, CD, ont toujours quatre foyers, par lesquels passent les circonférences de grands cercles (*) également inclinées sur les deux circonférences données.

II. Ce qui vient d'être dit du grand cercle GMNF s'applique évidemment à une circonférence quelconque, tracée sur la sphère, et passant par les points M, N. Ainsi, tout plan passant par le sommet du cône déterminé par deux cercles AB, CD, situés sur la sphère, coupe cette surface suivant une circonférence également inclinée sur les deux autres.

III. Réciproquement, toute circonférence qui coupe, sous des angles égaux, deux cercles de la sphère, a son plan passant par le sommet du cône déterminé par ces cercles.

THÉORÈME XXXll.

Les sommets des cônes déterminés par trois cercles traeés sur nue sphère et considérés deux à deux, sont trois à (rois sur quatre droites situées dans un même plan.

Supposons que sur une sphère 0, on ait tracé trois cer-

(*) M. Heegmann a proposé, pour ces circonférences de grands cercles, la dénomination de sécantes isogonales des cercles AB,t k CD.

cles C, C, Cf. Les deux cercles G, C déterminent deux cônes S' 7 , /; les deux cercles C',C' 7 déterminent deux cônes S, s; enfin, les deux cercles C", C déterminent deux cônes S', s'. Admettons, pour fixer les idées, que les cônes S, S' S' 7 aient leurs sommets extérieurs à la sphère. Je dis d'abord que ces sommets sont en ligne droite.

Parmi tous les cercles qui toucheraient extérieurement les cercles C, C 7 , considérons celui qui toucherait, extérieurement aussi, le cercle C' 7 . Soient m, m', m" les trois points de contact. La droite qui passe par deux quelconques de ùzs points passe aussi par le sommet correspondant. Ainsi, les trois sommets S, S 7 , S' 7 sont dans le plan du triangle mm'm".

Pour une raison semblable, ces trois sommets appartiennent au plan du cercle nn'n" qui toucherait intérieurement les cercles donnés. Donc les points S, S' 9 S' 7 sont situés sur une même droite.

On verra de même que les sommets S, «', s f/ sont en ligne droite; qu'il en est de même pour les sommets S', s'\ s, et encore pour les sommets S' 77 , s, s'. Et puisque chaque sommet appartient à deux droites différentes, les quatre droites sont dans un même plan. (VI, Th. XVII.)

Remarques. I. La théorie qui vient d'être exposée est tout à fait analogue à celle des figures semblables. Les sommets S, s tiennent lieu des centres de similitude, externe et interne; les droites SS 7 S ;/ , SsY 7 , etc., remplacent les axes de similitude, etc.

II. Considérons le cas particulier où les circonférences C, C, C' 7 seraient perpendiculaires à un même grand cercle. Le plan de celui-ci coupera les trois cônes S, S 7 , S ;/ suivant six génératrices, dont l'ensemble constituera un hexagone

290 THÉORÈMES ET PROtfLEffBS

inscrit. Mais, ainsi que nous venons de le voir, les sommets S, S', S* sont situés sur une même droite. Nous retrouvons donc le Théorème de Pascal. (III, Th. XXIV.)

THÉORÈME XXXIII

Si deux cônes ont an sommet commun S, et que leurs bases soient deux circonférences sécantes C, C, tracées sur une sphère 0, l'angle sous lequel se coupent ces deux bases est égal à celui sous lequel se coupent les deux sections antiparallèles c, (f, situées sur la même sphère.

Par les points d'intersection A, B des deux circonférences C, G', faisons passer deux génératrices Sk, SB : elles perceront la surface de la sphère en deux points a, b qui seront évidemment ceux où se coupent les circonférences c, c'.

Gela posé, imaginons, sur la surface de la sphère, un cerele y qui touche C, c aux points A, a. Ce cercle sera également incliné sur C, c' (Th. XXXI, Rem. II) ; donc ces deux circonférences font, avec C, c, des angles respectivement égaux entre eux.

THÉORÈME XXXIV

Si deux cônes ont pour bases deux circonférences sécantes G, G', tracées sur une sphère 0, et que leur sommet commun S soit un point de cette surface, tout plan P, parallèle au plan tangent T à la sphère en ce point S, coupe ces cônes suivant deux circonférences c, c' f dont l'angle est égal à celui des deux premières (*).

Nous savons déjà (Th. XXX, Rem. VIII) que les sections faites dans les deux cônes, par le plan P, sont des cercles

(*] M. Héegmann, dont Je reproduis presque intégralement le travail, considère ce théorème comme un cas particulier du précédent. J'ai pensé qu'une démonstration directe élail nécessaire, du moins pour les commençants.

c, c' : il suffit doîic de faite voir que l'angle sous lequel ces fcei'clfes se coupent est égal à celui sous lequel se coupent les deux autres,

Pour cela, imaginons, sur la surface de lsl sphère, deux circonférences y, y\ rëspectiveiiient tâhgentes aux cercles C, C en l'un A des dëiix points où se coupent ces cercles, et passant toutes deux pair lé sommet S du cône. L'angle formé par les tangentes t, V à ces circonférences, ail poiiit S, est évidemment égal à celui que fbnt les tangentes en À, aux cercles dorinés. D'ailleurs, le plan P est parallèle à celui des tangentes t y t*; et il est facile de voir que l'angle sous lequel se coupent les circonférences c, c' est égal à celui de ces dernières droites ; donc, ëtc^

Remarque. Les Théoïèiiies XXX et XXXIV contiennent les propriétés sur lesquelles est fondée la projection stéréographique, oti projection de Ptoléfnée. Ces propriétés sont les suivantes :

1° Là perspective d'Un cercle quelconque, situé sur la sphère, est un autre cercle;

2° La perspective dune figure sphérique très-petite est une figuïe semblable à la première.

THÉORÈME XXXV

Si un cône a pour base un petit cercle AB de la q§hère 0, et pour sommet un point S de cette surface, le centre >de la section antiparallèle du cône est sur la droite qui joint le sommet au pôle P de la base.

Soit ABSM le grand cercle passant par le sommet S, p IG . 326. perpendiculairement à la base ; soit AB la corde suivant laquelle se projette celle-ci : le pôle P de cette droite, par rapport au grand cercle, sera aussi le pôle du petit cercle

292 THÉORÈMES ET PROBLÈMBS

AB, relativement à la sphère (Th. IV). Si, par ce point P, nous menons EPF parallèle à la tangente ST, cette droite EPF sera la projection de la section faite parallèlement au plan tangent en S, c'est-à-dire la projection d'une section antiparallèle. Le théorème sera donc démontré, si nous faisons voir que le point P est le milieu de EF.

Or, les angles TSA, SAP sont égaux, comme ayant même mesure ; et, à cause des parallèles, les angles TSA, PEA sont égaux ; donc, dans le triangle PAE, PA=PE. Pour une raison semblable, PF=PB. Mais les tangentes PA, PB sont égales entre elles ; donc, etc.

Remarque. Supposons que la droite SP soit fixe et que le point P se déplace : le cercle AB variera, mais de manière que son plan passera constamment par la droite réciproque de SP(Th. VII). De plus, cette droite réciproque sera projetée en I, à la rencontre de AB avec ST. On conclut de là cette propriété remarquable :

> Si des cônes, en nombre quelconque, ont pour sommet un point de la sphère, et que leurs bases soient des cercles de cette surface, se coupant suivant une droite située dans le plan tangent du sommet du cône , tout plan parallèle à celui-ci coupera tous ces cônes suivant des cercles concentriques.

«HÈORÈME XXXVI.

La figure réciproque d'un plan P, relativement à une sphère S, est la sphère S' qui a pour diamètre la distance du centre de S au pèle de P.

(Voyez Th. LIX, Liv. III.)

THÉORÈME XXXVII

La figure réciproque d'an cercle EF 9 relativement à une sphère S (*) , est un autre cercle AB.

La figure réciproque du cercle EF est évidemment située Fig. 326. sur le cône qui a pour base ce cercle , et pour sommet le centre S de la sphère directrice. Elle est située aussi sur la sphère SMH, réciproque du plan EF (Th. XXXVI). D'ailleurs , cette seconde sphère a pour diamètre la droite qui joint le sommet S du cône au pôle H du plan EF ; donc (Th. XXX, Rem. VII) elle coupe le cône suivant une circonférence AB.

THÉORÈME XXXV1U

La figure réciproque d'une sphère S', relativement à une sphère S , est généralement une sphère.

Un plan quelconque , mené par les centres des sphères S, S', coupe ces deux surfaces suivant deux circonférences G, C. La figure réciproque de C, par rapport à C, est une circonférence G", section méridienne de la figure réciproque de S'; etc.

Remarque. Si la sphère S' passe par le centre de la sphère directrice S, la figure réciproque de S' devient un plan. (Th. XXXVI.)

THÉORÈME XXXIX

Dans deux figures réciproques , les angles correspondants sont égaux. -

En considérant seulement le cas où la première figure est composée de droites et de plans, la démonstration est

(•) Non Iracée sur la figure.

294 Tufoatm rr paoïLfcsss

tout à fait analogue à celle du Théorème LXI (Liv. M). Nous laissons au lecteur le soin de la développer.

THÉORÈMB XL.

La sonne des carrés des segments formés par Irais eardes qui se eonpeot retlaajolairemenl deai à deex, en oa même point, est égale à sii Ibis le earré da rayon R de la sphère, mains deai fois le carré de la distance do centre an point H d'intersection des Irais cordes.

Fig. 327. Soit ABCD la section faite dans la sphère par le plan passant par les cordes AB et CD : la troisième corde, que nous désignerons par EF, aura pour projection, pqr le plan de la figure, le point M. En même temps, le point I, centre du petit cercle ABCD, sera la projection du centre O de la sphère.

Si nous menons le diamètre GH de ce petit cercle, nous aurons (Th. XLVIII, Liv. III) :

ÂM+B^+(^VDM=GHâ. (1)

Concevons maintenant le plan des deux droites EF, 6H : il coupera la sphère suivant un grand cercle ; et, comme ces droites sont deux cordes perpendiculaires, se coupant en M, nous aurons encore :

L ntiiûilomai

EM + FmVgM + HM=4R*.

l.ClU£UcIIJc]