hl

et, par suite, R=i c (/Î5+l / 3).

Icosaèdre. Construisons, avec c pour côté, un pentagone régulier ABCDE (fi g. 343). Prenons cette figure pour base d'une pyramide régulière ayant G pour sommet, et dans laquelle l'arête aussi soit égale à c. Enfin , par le centre I du triangle équilatéral AGB, élevons, au plan de ce triangle, la perpendiculaire 10 coupant en la hauteur GF. Le point sera le centre de l'icosaèdre.

Cela posé, si nous abaissons GH perpendiculaire à AB, et si nous menons HF, les deux triangles GIO, GHF don-

neront gh = fït

Or, GO=R, IO=r, GH=|c^3.

De plus, la droite HF, apothème du pentagone régulier

ABCDE, a pour expression \c ~ r ,

En remplaçant donc les lignes par leurs valeurs, dans la proportion ci-dessus, nous obtiendrons

r y/âl^io— 21/5

Nous avons aussi, comme précédemment,

Ces deux équations donnent, par un calcul facile,

Connaissant le rayon R d'une'sphère, trouver le côté c d'an polyèdre régulier inscrit, et le rayon r de la sphère inscrite à ce polyèdre.

Si Ton résout, par rapport à c et à r, les formules trouvées dans le Problème XXVI, on arrive aux résultats suivants:

Tétraèdre. c=|Rk r 6, r=\R.

Hexaèdre. c=|R^3, r=lRl^3.

Octaèdre. c=R/2, r=ÎRK3.

Dodécaèdre. c^R(|/ï5-K3), r=R|/i±|5.

Icosaèdre. c=\\/\ 0(5-/5), r=^/ b -±$fï.

Remarque. Le rayon de la sphère inscrite ayant la même valeur pour le dodécaèdre et pour Ticosaèdre, on voit que, si ces deux polyèdres sont inscrits à une même sphère, ils seront circonscrits aussi à une même sphère. La même propriété subsiste pour l'hexaèdre et l'octaèdre. Ces deux résultats confirment ce que nous avons dit sur les polyèdres conjugués.

Connaissant le rayon R d'une sphère, trouver l'aire A et le volume V d'un polyèdre régulier inscrit à cette sphère.

Nous venons d'exprimer, en fonction de R, le côté c du polyèdre régulier ; si donc nous désignons par a Taire de

314 THtORfcMS Et PkObLErtBS

chacune des faces, nous trouverons, par le* formules connues (*), les valeurs suivantes :

Tétraèdre. o=Jc ï ^3=R ï ^3; A=|R>^3.

. Hexaèdre. 0=0»=^»; A=8R».

Octaèdre. *=l*^3=iRM'5; Ai=4R»^5.

Dodécaèdre. 0=^^^=^]/ iO(^-Vt);

A=2R î J/lO(5-^5).

Icosaèdre. a=j c »k r 3=lR«(5^3-rï5); A=*2R»(5/3— KÎ5).

Multiplions actuellement la valeur de A par \r-, nous aurons le voloiae V du polyèdre, savoir :

Tétraèdre. V=f R*K3 . jR=|R s |/3.

Hexaèdre. V=8R» . ÎR/3=sR»K3.

Octaèdre. V=4R»K3 . JrK3=^R 8 .

Dodécaèdre. V=2R»J/lO(5-K5) . iRj/^-" 4 "*^ 8

Icosaèdre. V=2R» (5^3-1^15) . |r|/- =|R»^/iO+2K5,

(•) £Wnw»fe d« Giomitrie, Liv. IV.

DE GÉOMÉtaiE ÉLÉMENTAIRE. 315

Une sphère variable S se meut en touchant continuellement trois sphères fixes A, B, C, données de grandeur el de position. Quelle est la courbe décrite sur chacune de celles-ci par son point de contact avec la sphère mobile?

Soient rt, b, c les points où là sphère S, considérée dans Tune quelconque de ses positions, touche respectivement les sphères À* B, C ; et, pour fixer les idées, supposons que celles*ci soient, deux à deux, extérieures l'une à l'autre, et que la sphère S les touche extérieurement.

Le point a est évidemment le centre de similitude inverse des sphères S, A; de môme, b est lé centre de similitude inverse des sphères S, B ; donc la droite àb passé par le centre de similitude directe des sphères A, B (Liv. III et Liv. VI).

Pour la même raison, la droite bc passe par le centre de similitude directe des sphères B, C, et la droite ca passe par le centre de similitude directe des sphères C, A. Donc le plan des trois points de contact a, &, c passe par Taxe de similitude directe des sphères données. Il est évident, eu outre, que ce plan coupe les quatre sphères suivant des cercles tels, que celui qui appartient à S touchera les trois autres.

Soient (fig. 178) abc, a'aa", bb'V\ cc'c" ces quatre cercles. Soient, de plus, m, m', m" les centres de similitude dont il vient d'être question : ces points seront, en même temps, les centres de similitude des trois derniers cercles, considérés deux à deux.

Le point de contact a est sur la droite qui joint le centre

346 THÉORÈMES BT PROBLÈMES

radical o de ces mêmes cercles au pôle p de leur axe de similitude, ce pôle étant relatif au cercle aa'a" (Liv. III, Prob. XXXVI). Or, le lieu décrit par le pointp, quand le plan de la figure tourne autour de Taxe mm'm n f est la droite réciproque de cet axe (Th. VII) ; et, d'un autre côté, il est clair que le lieu du centre radical o est Taxe radical des sphères A, fi, G. Conséquemment, le lieu du point a est la circonférence suivant laquelle le plan de ces deux droites coupe la sphère A.

Les mêmes raisonnements s'appliqueraient aux lieux décrits par les points b et c. On a donc ce théorème :

Quand une sphère variable S se meut en touchant continuellement trois sphères fixes A, B, C, le lieu décrit sur chacune de celles-ci par son point de contact avec la première sphère est un petit cerle dont le plan est perpendiculaire à celui qui contient les centres des trois sphères données (*).

O Cette propriété remarquable a été découverte par Dupuis, ancien élève de l'École Polytechnique, mort au commencement de ce siècle.