OE A
ou, en posant BC=a, AC=6, AB=c, OE=R,
s: - £ti-
Cette proportion donne R=^^.
Actuellement, les rayons des sphères 0, 0' sont proportionnels aux hauteurs AG, AC' des cônes semblables dans lesquels ces sphères sont inscrites; donc
R' b— aa c—q
La formule trouvée ci-dessus (Probl. XVI) donnera donc, pour la limite des volumes de toutes les sphères,
\c+al
336 THÉORÈMES BT PBOBLfeNBS
OU V=s7T;
ou, enfin, à cause de c*=a*-h&* :
Remarque. Le rapport entre le volume V et le volume V du cône est 7 = 3 ^4^ * Cette fraction, qui se réduit a 3 quand a = 0, diminue indéfiniment lorsque a devient de plus en plus grand. Ainsi, la somme de toutes les sphères
0, 0', 0" est toujours moindre que les deux tiers du
cône.
On suppose qu'après avoir formé une pile triangulaire de boulets, on mène trois plans, tangents aux trois plans de celle pile et formant, avee le plan horizontal d'appui, un tétraèdre régulier T. Quel sera le rapport m entre la partie pleine et la partie vide de ee tétraèdre?
Représentons par n le nombre des boulets contenus dans le côté de la base de la pile, et par d leur diamètre commun ; le volume de l'espace occupé par tous les boulets, ou de l'espace plein, sera
Considérons les centres des boulets placés aux angles de la première couche horizontale, ainsi que le centre du boulet placé au sommet de la pile : il est clair que ces quatre points sont les sommets d'un tétraèdre régulier T'. De plus , on reconnaît facilement que l'arête de ce tétraèdre se compose de n — 1 fois le diamètre d'un boulet,
Manuel des candidats à VÊcole Polytechnique.
ikb Gttuitrau ALtanoiTAiiE. 337
en sorte qu'elle est représentée par c'=(n — ï)d. Enfin, les faces de ce tétraèdre sent éloignées des faces correspondantes de T #une quotité ég^le au ray^fl #un hçtulet,
e 1 est-à-dire égale à \ d.
Soit maintenant r' le rayon de la sphère inscrite au tétraèdre T'; nous aurons (VII, Probl. XXVI)
donc le rayon de la sphère inscrite à l'autre téftaèdre §era
Les deux tétraèdres sont entre eux comme les cubes des rayons des sphères inscrites. Or, le volume du premier est
donc le volume du second sera
Si , du volume total V, nous retranchons le volume v trouvé ci-dessus, nous obtiendrons le volume V' de l'espace vide; savoir
Le rapport cherché est donc
Remarque. Quand n = 1 , m = — ^ — = 0,45. . .
Çv3— Ut
A partir de cette valeur , m croît indéfiniment lorsqye lp nombre n des boulets augmente. La valeur limite s'obtient en supposant, dans la formule précédente, n infini. On trouve ainsi,
liwHedçm== — 1 I; = 2,§5...
338 THtORtHES BT PROBLÊMBS
Les milieux des arêtes d'an polyèdre régulier sont situés sur la surface d'une sphère S, à laquelle ces arêtes sont tangentes, et dont le centre est celui du polyèdre. De plus, la sphère est coupée, par les faces du polyèdre, suivant des circonférences inscrites à ces faces.
Gela étant admis, on demande (f évaluer, en fonction du côté c du polyèdre, la somme des calottes spbériques ayaot pour bases ces circonférences.
Soient R, r et p les rayons respectifs de la sphère circonscrite, de la sphère inscrite et de la sphère S.
Supposons que Ton joigne le centre commun des trois sphères à un sommet A du polyèdre et au milieu G d'une arête aboutissant à ce sommet : on obtiendra ainsi un triangle ACO, rectangle en G, et dans lequel OA=R,
OC=p, AC = jc; donc
p*=R*-ic*. (1)
Chacune des calottes sphériques dont il s'agit a pour hauteur, évidemment, p — r; en sorte que Taire de cette calotte est représentée par 2rcp [p—r). En supposant donc que n soit le nombre des faces du polyèdre, et en désignant par A Taire cherchée, nous aurons
A=2wrp(p— r). (2)
Il ne s'agit plus maintenant que de substituer, pour R et r, leurs valeurs connues (Probl. XXVI, Liv. VU). On obtient ainsi les résultats suivants :
Tétraèdre. p*=\c\ A=j7r(3|— \TZ)c*.
Hexaèdre. p*=§c 2 , A=3rrc*.
Octaèdre. P 2 =Jc 2 , A=Jtt(3^|^)c 2 .
DE GÉOMÉTKÏB ÊLÊMENTAHE. 339
Dodécaèdre. P *=i(5+|/5)c».
Icosaèdre. p 2 =/ 6 (^5+l)^,
A=5tt[3 +^5— 2^5+|/B] c*.
Remarque. Prenons chacune des circonférences données pour base d'un cône ayant son sommet au centre du polyèdre. Si la surface de ce cône est prolongée indéfiniment, elle interceptera une partie de l'espace indéfini, partie à laquelle on donne le nom d'angle conique. Or, ainsi qu'on le démontre «facilement, cet angle conique a pour mesure le rapport de la calotte correspondante à la surface sphérique S. Nous aurons donc, pour la mesure a de la somme de ces angles :
La substitution des valeurs trouvées pour r et pour p donne ensuite les résultats suivants, pour les divers polyèdres réguliers :
Tétraèdre. a=2(l— ^g).
Hexaèdre. «=3(i— -^=] # Octaèdre. a=4(l— £-).
Dodécaèdre. «=6[l— lJ/s+8|/B].
Icosaèdre. ^=iO[l-^\
