BD(AA' + BB' + DD')=CD(AA'+CC'+DD
Pour abréger, posons AA'=a, BB'=&, CC'=c, BD=a?, CD=t/,BC=/;
l'équation deviendra
Pour éliminer DD', observons que
[BC.DD'=BD.CC' + CD.BB' (III, Th. I);
d'où DD'=^±^;
puis (a+b)x—(a+c)y+(x-y) c -^=o. (1)
Au moyen de cette équation et de
ou pourra déterminer x et y.
Si, par exemple, on remplace y par l — x, on trouve que rinconnue x est donnée par l'équation du second degré :
2(b— c)a 2 — 2(a+2ft)te+(o + ft + c)i 2 =o.
D'un point pris sur la surface d'une sphère de rayon R, comme centre, décrire une surface sphérique telle, que la partie comprise entre les surfaces des deux sphères ait un volume donné.
Le corps intercepté entre les surfaces des deux sphères est évidemment une lentille biconvexe, dont l'épaisseur est le rayon R' de la sphère cherchée. Conséquemment, si nous désignons par m le rapport entre le volume de cette lentille et le volume de la sphère donnée, nous aurons, par la dernière formule du Problème V :
^7rmR 3 =i 7 rÇ[R' i -4(R+R')R'+12RR']:
d'où 3R'*-8RR' s + 16mR*=©.
Telle est l'équation qui donnera le rayon R'. Pour la simplifier, posons g-=#; nous aurons
Le lecteur à qui la Théorie des équations est familière reconnaîtra sans peine que cette équation a deux racines imaginaires; qu'elle a deux racines positives, Tune plus petite et l'autre plus grande que 2; etc.
Trouver le rayon d'une sphère équivalente à la limite de la somme d'une inOnilé de sphères dont les rayons décroîtraient en progression 'par quotient.
Représentons parR le rayon de la première des sphères données, par q le rapport de deux rayons consécutifs, et par x le rayon de la sphère cherchée ; nous aurons, en remplaçant les sphères par les cubes de leurs rayons, ce qui est permis :
Les termes contenus dans la parenthèse forment une progression décroissante, dont la raison est ç 3 . La limite
de leur somme est, par la formule connue, j^i; donc
et
die GtoitftMUK fiiiiifcftf im. 33n
À un cône droit ABD on inserit une première sphère ; pais , dans l'espace compris entre celle-ci et la surface latérale du cône, on inscrit une deuxième sphère (K ; et ainsi de suite indéfiniment Quelle sera la limite des volumes de toutes ces sphères?
Si, dans le triangle isocèle ABD, section méridienne du Fia. 35G. cône, nous inscrivons une circonférence CEC, cette ligne représentera la section faite dans la sphère 0, par le plan du triangle. Menons, par l'extrémité G' du diamètre CC, la tangente B'D', évidemment parallèle hBD; nous obtiendrons un nouveau triangle isocèle AB'D', dans lequel nous pourrons inscrire la circonférence C'C", section méridienne de la deuxième sphère ; et ainsi de suite.
Cela posé, joignons le point de contact E au centre 0,
nous aurons
bc AB
