OM+ON=PD+PB=BD

THÉORÈME VIL

Si d'an point 0, pris dans l'intérieur d'an triangle équilatéral ABC, on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés, la somme de ces droites est égale à la hauteur AP du triangle.

Fig. 8. Par le point 0, menons MN parallèle à BC; abaissons MQ perpendiculaire sur ÀC; nous aurons, par le théorème précédent, ,

OI-hOL=MQ=AD; donc OH+OI-hOL=PD-hAD=ÀP.

THÉORÈME VIII

Dans tout quadrilatère, les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme.

Fig. 5. Menons les diagonales AC, BD. Dans le triangle ABD, la droite MN est parallèle à BD et égale à la moitié de BD. Il résulte de là que les droites MN, PQ sont égales et parallèles. De même, MP et NQ sont égales et parallèles ; donc MNPQ est un parallélogramme.

THÉORÈME IX

Dans tout quadrilatère, le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés est situé au milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales.

Fig. 6. Soient, dans le quadrilatère ABCD, PR et QS les droites qui joignent les milieux des côtés opposés, et MN la droite

qui joint les milieux des diagonales ; menons PQ, QR, RS, SP, PM, MR, RN et NP. La figure PQRS est un parallélogramme (Th. VIII) ; donc PR et QS se coupent en deux parties égales au point 0. PMRN est aussi un parallélogramme, car PM, NR sont parallèles à AB, et PN, MR sont parallèles à DC ; donc PR et MN se coupent en deux parties égales au même pointO. Le point 0, milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales, se confond donc avec le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés du quadrilatère.

THÉORÈME X

Deux polygones convexes, d'un nombre impair de côtés, sont égaux lorsque leurs côtés ont mêmes points milieux.

L'énoncé revient à ceci : Un polygone convexe , d'un nombre impair de côtés, est déterminé par les milieux de ses côtés.

1° Cette dernière proposition est vraie dans le cas où Fus. 20. le nombre des côtés se réduit à trois; car L, M, V étant les points milieux donnés, le triangle ARC a ses côtés respectivement parallèles aux droites MV, VL, LM.

2° Soit, pour fixer les idées, un heptagone convexe AB...FG, dont les côtés ont pour milieux respectifs les pointsL, M, ...R, S. En considérant trois côtés consécutifs quelconques GF, FE, ED, puis les côtés adjacents à GF et ED, nous décomposerons l'heptagone en deux quadrilatères GFED, AGDG, et en un triangle ABC. Le milieu U de GD est déterminé par les points P, Q, R ; attendu que UPQR est un parallélogramme (Th. VIII). De même, le milieu V de

6 THtORtUS ET PE01LBMBS

AC est déterminé par les points N, U, S. Le triangle ABC est donc déterminé (1°); etc.

Par un point 0, al» dans l'angle donné k , mener tme droite BC qui soit divisée en deux parties égales par ce point.

Fig. 21. Soit D le milieu du segment inconnu AB : la droite OD sera parallèle à AC.

Conséquemraent, pour résoudre le problème, on mène OD parallèle au côté AC de l'angle donné; on prend DB=AD, et l'on joint le point B au point donné 0.

Trouver, sur l'un des côtés d'un angle ABC , un point également distant du second côté et d'un point D, situé sur le premier côté.

Fig. 18. Supposons le problème résolu : abaissons OE, DF perpendiculaires sur AB, et tirons DE. Dans le triangle isocèle OED, les angles OED, ODE sont égaux. Mais, à cause des parallèles OE, DF, les angles OED, EDF sont égaux comme alternes internes ; donc OED = EDF; donc DE est la bissectrice de l'angle BDF.

Ainsi, pour résoudre le problème, il faut mener DF perpendiculaire sur AB, tracer la bissectrice DE de l'angle BDF, et mener EO parallèle à DF.

Construire un triangle, connaissant deux côtés et une médiane.

Fig. 10. Soit ABC le triangle cherché, et soit CC la médiane donnée. Parmi les deux côtés donnés, il y en a nécessairement un, au moins, qui aboutit au sommet C; supposons

di etottniiB tUùOKtàm. 7

que ce soit le côté AC. Si le second côté donné est AB, le problème se réduit à la construction du triangle ACC', dans

lequel on connaît les trois côtés, attendu que AC— |AB.

Si le second côté donné est CB, prolongeons CG' d'une quantité égale à elle-même, et menons DB. Nous connaîtrons, dans le triangle CBD, d'abord le côté CB, ensuite BD=x\C, et enfin GD=2CC. La question est donc résolue.

Construire un triangle, connaissant on côté et deux médianes.

Soit le point d'intersection des deux médianes don- Fig. 24. nées AA', BB'. On a OA'^AÀ', OB'=lBB'. Par conséquent, la construction du triangle ABC se réduira, quel que soit le côté donné, à la construction d'un des triangles AOB, AOB', BOA', dans lequel les trois côtés seront connus.

Construire on triangle, connaissant les trois médianes.

Soit le point d'intersection des trois médianes. A cause Fig. 24. de BO=?BB', AO=?AA', 0C'=4CC, on connaît, dans

le triangle AOB, les deux côtés BO, AO et la médiane 0C\ La question est donc ramenée au Problème III.

Construire un triangle ÀBG , connaissant le périmètre et deux angles.

Prolongeons le côté BG de part et d'autre. Prenons Fig. 25. BD=s=BA, CE=CA, et menons AD, AE. Dans le triangle

8 THÉOBfeMfiS BT PROBLÈMES

isocèle ABD, l'angle D, égal à BAD, sera la moitié de

l'angle donné B. De même, E^C.D'aBleurs, DE égale

le périmètre donné.

On peut donc construire le triangle DAE et déterminer ensuite les points B, G, au moyen des perpendiculaires FB, GC.

Construire on parallélogramme, connaissant les deux diagonales et nn côté.

Fig. 16. Soit ABGD le parallélogramme demandé, dans lequel on connaît les diagonales AG, BD et le côté AB.

Dans le triangle AOB on connaît AO=^AC, BO=^BD

et AB, qui est donné. Ge triangle étant construit, le problème peut être regardé comme résolu.

Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés et Tune des deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

Fig. 29. Soit ABCD le quadrilatère cherché, dans lequel, indépendamment des côtés, on connaît la droite EG, qui passe par les milieux des côtés AB, GD. Soient H, F les milieux des diagonales du quadrilatère. Si nous menons HE, GF, ces deux droites seront égales et parallèles, car chacune d'elles est parallèle à AD, et égale à la moitié de cette droite. De même, les droites GH, EF sont parallèles, et chacune d'elles est égale à la moitié de BG. Il résulte de là que la figure EFGH est un parallélogramme, dans lequel on conuait les côtés et Tune des diagonales. On peut

donc construire ce parallélogramme, et déterminer sa seconde diagonale FH.

Actuellement, soient M, N les milieux des côtés AD, BC du quadrilatère. La figure MHNF sera encore un parallélogramme, dans lequel on connaît les côtés et la diagonale FH.

Le reste est évident.

Sur lès prolongements des côtés AB , AC d'un triangle donné ABC , on prend les deux distances BD, CE, de manière que leur somme soit égale au troisième côté du triangle, et l'on mène DE. Dans quel cas cette droite sera-t-elle nn minimum ?

D'après la construction, AD+ AE=ABh-AC + BC. Fig. 4. Dans tous les triangles tels que DAE , la somme des côtés AD, AE étant constante, le minimum du troisième côté DE répond au cas où ce triangle est isocèle (Th. Y). Il faut donc, pour résoudre le problème , prendre