CM'— M'D<G'D

Trouver, lur le etté AB d'un triangle, un point tel, 91e la somme de ses distances aux deux antres cèles soit un minimum.

Vwu 31. Prenons, sur AB, deux points quelconques M, M'; puis abaissons MP , M'P' perpendiculaires sur AC, et MQ, M'Q' perpendiculaires sur BC. Afin de connaître laquelle est la plus grande des deux sommes MP+MQ, M'P'+M'Q\ posous

DB etOMÉTUE ÉLÉMBHTÀIRE. 45

MP+MQ>M'P'+M'Q'.

Menons MR parallèle à AC, M'S parallèle à BC : l'inégalité deviendra

MP+MS+SQ>M'R+RP'+M'Q' ; d'où, à cause de MP=RP', SQ=M'Q' :

MS>MH.

Or, les deux triangles rectangles MRM', MSM' ont l'hypoténuse commune. Si donc, comme cela a lieu dans la figure, l'angle A est supposé plus grand que l'angle B, nous aurons MM'S <M'MR. On conclut aisément de là MS < M'R. Par suite, MP ■+■ MQ < M'P' + P'Q\ Ainsi, la somme des distances du point M aux deux côtés AG, BG diminue à mesure que ce point se rapproche du sommet A; elle sera donc la plus petite possible quand le point M se confondra avec ce sommet.

Trouver, dans le plan d'un triangle, an point tel, qie la somme de ses distances aux trois celés du triangle soit un minimum.

Par un point quelconque M, intérieur ou extérieur au Fig. 32. triangle, menons DE parallèle au côté AB ; soit F le point où cette droite rencontre le côté AC , adjacent au plus grand des deux angles A, B. D'après le problème précédent , nous aurons

FH<MQ + MR, ou FH+FG<MP + MQ-hMR.

Il ne s'agit donc plus que de comparer le point F avec les autres points du côté AG. Or, d'après le même problème, on a