CI<FH+FG

16 THORÈMES ET PROBLÈMES

Ainsi, le point cherché est le sommet du plus grand des trois angles du triangle. En même temps, le minimum de MP+ MQ + MR est la plus petite hauteur du triangle.

Trouver le lien des points tels, que la somme des distances de chacun d'eux à deux droites données soit égale à une longueur donnée.

Pig. 26. H y si plusieurs cas à distinguer :

1° Les deux droites AB, CD sont parallèles, et leur distance est moindre que la longueur donnée.

Le lieu géométrique se compose évidemment du système de deux droites MN, PQ, parallèles aux deux droites données. Pour obtenir ces parallèles, on mène une perpendiculaire commune aux deux droites données, et Ton prend

FG=HE=î(L— EF), L étant la longueur donnée.

2° Les droites données sont parallèles, et leur distance est égale à la longueur donnée L.

Dans ce cas, tout point de la bande comprise entre les deux parallèles données AB, CD, satisfait à la question.

3° Les droites données sont encore parallèles, et leur distance est plus grande que L.

Le problème est évidemment impossible.

4° Les deux droites sont concourantes.

Fig. 27. Menons EF parallèle à la droite donnée AB, de manière que la distance entre ces deux droites soit égale à L. Prenons, à partir du point de concours 0, OG=OE.

D'après le Théorème VI, tous les points de la base AE du triangle isocèle AOE satisferont à la question. Mais cette base ne constitue pas tout le lieu géométrique cherché :

il est clair, en effet, que si nous prenons OH=OI=OE, Fig. 28. tous les points situés sur le périmètre du rectangle EGHI seront tels, que la somme des distances de chacun d'eux aux deux droites données, sera égale à L.

Remarque. Si, dans le cas des droites concourantes, on demandait que la différence des distances du point cherché aux deux droites fût égale à L, on trouverait, pour le lieu géométrique, les prolongements des côtés du rectangle. C'est ce qu'il est aisé de reconnaître.

Le cas des droites parallèles donnerait lieu à une discussion toute semblable à celle qui précède.

48 TflfiOBftWS ET PROBUgtt»