D'A'B'=B'BA + D'DA
Ajoutant ces deux égalités, on obtient
D'C'B'+D'A'B'==CBA+CDA===2 d ; donc le quadrilatère A'B'C'D' est inscriptible.
THÉORÈME VI
Les pieds M, N, P des perpendiculaires abaissées d'un point d'une circon- - férence sur les côtés d'un triangle inscrit ABC, sont situés sur une même droite.
Menons MN et NP : le théorème sera démontré si nous Fig. 41 prouvons que les angles BNM, CNP sont égaux.
Sur OB, comme diamètre, décrivons une circonférence : elle passera par les points M, N, parce que les angles BMO, BNO sont droits. Décrivons de même une circonférence sur OC comme diamètre : elle passera par les points N, P. Gela posé, l'angle MBO, supplément de l'angle ACO, est égal à l'angle OCP, qui est aussi le supplément de AGO ; donc
22 théoilèibs'et problèmes
BOM=.GOP. Mais ces deux derniers angles sont respectivement égaux, l'uu à BNM, l'autre à CNP ; donc BNM est égal à CNP.
THÉORÈME VIL
Si, du sommet B d'un triangle équilaléral inscrit, on mène une corde quelconque BD qui coupe le côté AG, et qu'on joigne les deux autres sommets A, G au point D, on aura BD=AD+GD.
Fig. 43. Par le point G, menons CE parallèle à AD, et joignons le point E aux points A, B. Il résultera de cette construction deux triangles BEF, DGF, lesquels seront équilatéraux. En effet, à cause des parallèles, les arcs AE, DC sont égaux; donc
BEC==BAC=f, EBF=ABC=f, BDC=BAC=f, ECD=ABC=f .
Par suite, BF=BE=AD, FD=CD; et enfin, BF+FD=BD=AD-hCD.
THÉORÈME VIII
Si, par les sommets d'un triangle ABC, on fait passer trois circonférences se coupant deu\[à deux sur les côtés du triangle, ces trois lignes passeront par un même point.
Fig. 45. Soit D le second point d'intersection des circonférences ÀB'C et BA'C je dis que la circonférence CATJ' passera enD.
En effet, la somme des angles formés autour du point D par les cordes DB\ DC', DÀ\ est égale à 6 angles droits.
DE GÊOafctfUÊ ÉLÉMENTAIRE. 23
Or, à cause des quadrilatères inscrits AB'DC, BA'DC, les angles BDC, A'DC sont les suppléments des angles A et B. Donc l'angle A'DB' est le supplément de G; et le quadrilatère A'DB'C est inscriptible.
THÉORÈME IX
Si, par l'an des deux points d'intersection de deux cireonférences 0, 0', on mène deux diamètres AM, AN, les extrémités M, N de ces deux diamètres et le second point d'intersection B sont en ligne droite.
Menons MB, NB. L'angle MBA est droit comme inscrit Fig. ^ tJ dans un demi-cercle ; il en est dfc même de l'angle ABN ; donc les angles ABM, ABN sont supplémentaires; donc la ligne MBN est droite.
THÉORÈME X
Si, par le point de contact de deux circonférences, on mène deux cordes communes AB, CD, les droites AD, BG, qui joignent les extrémités de ce* cordes , sont parallèles.
Si nous menons la tangente commune EF, les angles F 1G - 50.
OAB, BOF seront égaux comme ayant pour mesure ^Off;
de même, ODC=EOC. Mais les angles BOF,EOC sont égaux comme opposés par le sommet ; donc OAB = ODC ; donc les droites AB, CD sont parallèles, comme faisant avec AD des angles alternes internes égaux.
THÉORÈME XL
Si , par le point d'intersection A de deux circonférences 0, 0', on mène deux cordes communes CD, EF, les droites CE, DF, qui joignent les extrémités de ces cordes, font entre elles un angle constant.
Fig. 37. Menons, par le point À, les deux droites GAH, G'A'H', respectivement tangentes aux deux circonférences. Nous aurons ADF=H'AE, ACE=HAE;
d'où ACE — ADF=HAE— H'AE ;
ou encore ACE — ADF=HAH'.
Ainsi, la différence des angles que font les deux droites EC, DF avec la corde commune CD, est constante et égale à l'angle des deux tangentes. Il résulte de là que si nous prolongeons EC, DF jusqu'à leur rencontre en M, l'angle CMF sera égal à HAH'.
Remarque. Si la corde CD reste fixe, et que la corde EF tourne autour du point A, le point M variera de position, mais de telle sorte que l'angle M sera constant. Donc ce point M décrira un arc capable de l'angle HAH', dont les extrémités seront les points C, D.
THÉORÈME XII
Si, à un cercle I, inscrit à un angle 0, on mène des tangentes intérieures ou extérieures: 1° les tangentes intérieures AB détermineront des triangles ayant même périmètre; 5° les tangentes extérieures CD détermineront des triangles dans lesquels l'excès du demi-périmètre sur le côté CD sera constant; 5° en joignant le centre aux extrémités des tangentes extérieures ou intérieures, on formera des angles constants pour chaque espèce de tangentes ; 4° les angles au centre, pour la tangente extérieore et pour la tangente intérieure, seront supplémentaires.
Fig. 44. 1° Dans, le triangle OAB,
AP=AN, BP = BM,
donc 0A + 0B + AB=0N+0M = 20M.
2° Dans le triangle OCD,
CQ=CN, DQ=DM; donc OC+OD— CD=ON+OM=20M;
