BD'=CC=AA

3° Circonscrivons des circonférences aux triangles ABC, BCA', CAB'. Il est facile de voir que ces trois lignes se couperont en un même point 0. Joignons ce point aux points À, B, C, A', B', C. Il résultera de cette construction six

angles AOB', B'OC..., égaux chacun à f. Par suite,

À0B'+B'0B+B0A'=2 d ; donc AOA'est une ligne droite.

3° Chacun des angles AOB, BOC, COA est égal à £.

C'est ce qu'on exprime en disant que les côtés AB, BC, CA sont vus, du point 0, sous un même angle.

Les bissectrices des angles intérieurs d'un quadrilatère forment un quadrilatère inscriplible.

SoitMNPQ le quadrilatère formé par les bissectrices des Fig. 58. angles du quadrilatère quelconque ABCD. Il suffit, pour démontrer le théorème, de prouver que la somme des an-

20 THfiOftÈHES ET FIOMJOO»

gles M et P est égale à 2*. Or, dans le triangle ABM, on a

dans le triangle CPD, on a également |C+ÎD + P=2* ;

donc !(A+B+C+D)+M+P=4*.

Mais î(A4-B+C+D)=2 d ;

donc M+P=2 d .

Remarques. I. Si ABCD est un parallélogramme , le quadrilatère MNPQ sera-un rectangle, dans lequel les diagonales seront parallèles aux côtés du parallélogramme.

IL Les bissectrices des angles extérieurs d'un quadrilatère jouissent des mêmes propriétés.

THÉORÈME IV

Les bissectrices EP, FN des angles formés par les côtés opposés d'an quadrilatère inscrit ABCD, sont perpendiculaires entre elles.

Fig. 39. EP étant la bissectrice de l'angle AED, on a

AP — BM=DP— CM.

De même , AN — DQ =BN - CQ.

Ajoutant ces deux égalités, on obtient :

PN — BM — DQ=DP + BN — MQ, ou PN + QM=PQ + MN.

Par suite, les deux angles PON, MON sont égaux comme ayant môme mesure; donc les droites EP, FN sont perpendiculaires l'une à l'autre.

THÉORÈME V

Les circonférences qui ont pour cordes les côtés d'un quadrilatère inscriptible ABCD donnent lieu, parleurs secondes intersections, à un quadrilatère inscriptible A'B'C'D'.

Les trois angles en C donnent Fig. 40.

Mais B'C'C + B'BC=:2 d ,

D'C'C4-D'DC=2'; donc D'C'B'=B'BC + D'DC.

On prouverait de même que