AS=AO+ÔS+20S.ÀU BS=BÔH-ÔS-20S.B

cs=œ+ôs^-2os.C'0,

d'où A^BS+CsV..=^^

+ 20S(À'0— B'O— C'O-K..). Or, il est évident que le point 0* centre des moyennes distances des points A, B, G,... est aussi le centre de leurs projections A', B\ C\.. Donc la somme algébrique des distances A'O, B'O, C'O..., est nulle, et l'égalité précédente se réduit à

AS+M+^+...=AO+B9+...+n.5§!

Remarque. Cette égalité donne

ÂsV^Vfô + ...<AÔ+BôVcÔ+.*.

Conséquemment f la somme des carrés des distances à'ûti point S à des points donnés Â, B, C... est ûri mintihum, quand ce point S se confond avec le centre 0.

THÉORÈME IV

Le lieu géométrique des points tels que la somme des carrés des distances de chacun d'eux à des points donnés A , B, C, soit constante, est une circonférence qui a pour centre le centre des moyennes distances des points À, B, C...

Soit S l'un des points du lieu, et soit / la constante don- Fig. 98. née. L'égalité précédente donnera

P=ÂOH-BÔ+...+n.Osl

ou bien ÔS=J[P— ÂÔ-BÔ 2 — CÔ-...] ;

c'est-à-dire que la distance OS est constante : le lieu est donc une circonférence ayant pour centre le point 0.

Remarques. 4° Pour que la circonférence existe réellement, il faut que Tondait

P>ÂÔ+BO+CÔ+...

2° Si J 2 =AO + BO+CO+..., la circonférence se réduit à son centre 0.

THÉORÈME V

Les droites qui joignent les sommets homologues de deux polygones P, F, semblables elsemblablement ou inversement situés, se coupent en un même point.

Soient AB, BC deux côtés consécutifs du polygone P, Fig. 9ï>. etÀ'B',B'C' les côtés correspondants du polygone P'. Soit O le point de rencontre des droites ÀA', BB' : il s'agit dfe démontrer que la droite CC passe par le point 0.

56 TllÉORfeMBS ET PROBLÈMES

Les triangles semblables OAB, OA'B' donnent

AB BO m