BO BO

d'où BO=BO'.

Ainsi, le point 0' coïncide avec le point 0.

Remarques. I. On appelle, en général, centre de similitude de deux lignes un point situé de la même manière par rapport à chacune d'elles. En adoptant cette définition, on voit que le point est le centre de similitude des polygones P, P'.

II. Le centre de similitude est externe lorsque les deux figures sont directement semblables ; il est interne dans le cas contraire.

III. Deux figures semblables et semblablement placées peuvent avoir à la fois deux centres de similitude. Exemple : deux circonférences.

THÉORÈME VI

Deox polygones semblables ont an centre de similitude.

AB, A'B' étant deux côtés homologues, soit C leur point Fig. 100. de concours. Par les trois points A, A\ C, faisons passer une circonférence; puis, par les trois points B, B', C, faisons passer une autre circonférence. Ces deux lignes, qui se coupent en G, se couperont en un autre point ; et ce point sera le centre de similitude des deux polygones.

En effet, dans le quadrilatère inscrit OACA', les angles A, A' sont supplémentaires; donc OAB=OA / B'. De même, OBA=OB'A'. Conséquemment, les triangles OAB, OA'B' sont semblables, et le point est situé de la même manière relativement aux côtés AB, A'B'. C'est ce qu'il fallait démontrer.

THÉORÈME VII

Les eenlres de similitude de trois polygones P, P\ F semblables et semblublement placés sont en ligne droite.

Soit X le point du polygone P', homologue du centre de similitude 0' de P, P". La droite O'X, qui unit deux points homologues de P, P', doit passer par 0", centre de similitude de ces deux polygones. Cette même droite, qui unit deux points homologues de P', P", doit passer par leur centre 0. Les quatre points 0, 0', 0", X, sont donc en ligne droite.

Remarques. I. La droite qui passe par les centres de similitude de trois figures semblables et semblablement placées s'appelle axe de similitude.

H. Trois circonférences ont en général six centres de similitude, lesquels sont situés trois à trois sur quatre axes de similitude.

THÉORÈME Y1U

Toote transversale A'B'C détermine, sur les côtés d'an triangle ABC, sb segments tels , que le prodoit des trois segments qui n'ont pas d'extrémités communes est égal au produit des trois antres.

Fig. 101. Menons par le sommet C la droite CD parallèle à la transversale ; nous aurons

i>r/ ac ÇA' BV

CB' ÀB r * DC — BCr

Ces deux proporlions donnent

CA' A£' BV