OA'. AP. BB'=OB'. BP. AA

Le triangle OBC et la transversale B'C'M donnent sernblablement ,

OB'. BM. CC'= OC. CM. BB\ Enfin, le triangle ABC et la transversale A'G'N : DC. CN.AA'=OA'. AN. CC

Multipliant ces égalités membre à membre, on obtient :

AP.BM.CN=BP.CM.AN.

Donc les points M, N, P sont en ligne droite. Remarques. I. La réciproque de ce théorème est vraie. H. Les triangles ABC, A'B'C sont dits homologiques; est un centre d'homologie ; PMN est un axe d'homologie.

THÉORÈME XL

Si l'on considère, sur les celés du triangle ayant pour sommets les centres C, (i\ fc" de trois circonférences, les trois centres de similitude internes I, T, F et les trois centres de similitude externes E, È', E" : 1° les trois centres internes sont en involution; J° deux centres internes et un centre externe sont en involution.

Fig. 103. On sait que le centre V de similitude interne de deux circonférences divise la ligne des centres CC en deux segments additifs CI", CI", proportionnels aux rayons R, R'.

Semblablement, le centre de similitude externe E" partage la droite CC en deux segments soustractifs CE", CE" proportionnels à R, R'.

Cela posé, il faut démontrer que :

^ 1° Cl". CI. CT=cr. CI. CT ;