BC BD

II. Les points C, D sont dits conjugués harmoniques. Il en est de même des points A, B, parce que la droite CD est partagée harmoniquement en ces deux points.

III. En adoptant ces définitions, on conclut que les bissectrices de l'angle d'un triangle partagent harmoniquement le côté opposé ; et que les centres de similitude de deux circonférences partagent harmoniquement la distance des centres.

IV. Plus généralement, d'après les Théorèmes VIII et IX, si l'on joint les sommets d'un triangle à un point parles transversales AA', BB\ CC, et que l'on mène ensuite la transversale B'A'C", les points C, C" partageront harmoniquement la base AB.

V. Cette remarque donne le moyen de construire, avec la règle seulement, le conjugué harmonique C" d'un point C.

Fig.106.

THÉORÈME XII

Si les eètés d'un polygone queleooque sont eoupés par une transversale, le prodnit des segmenls qoi n'ont pas d'eitrémilés commpes sera égal «a pro<|ujf des antres segment

Soit ABC... un polygone, dopt les côtés sQpt ppupés en M, N, P... par la transversale MQ. Il s'agif, de démonfref que

AM.BN.CP.DQ.ER.FS.=AS. BM.CN.DP.EQ.FR.

Décomposons le polygone en triangles, au moyen des diagonales BD, BE, BF. Nous aurons :

AM.BX.FS.=AS.BM.FX; BY.ER.FX. = BX.EY.FR; BZ.DQ.EY. = BY.EQ.DZ; BN.CP.DZ. = BZ. DP.CN.

Multipliant membre à membre, et supprimant les facteurs commun, on obtient la relation ci-dessus.

THÉORÈME XIII

Si, par un point pris dans le plan d'un polygone quelconque d'un nombre impair de eètés, on mène à chaque sommet une droite qni partage le côté opposé en deux segments, Je prodoit des segments qui n'ont pas d'extrémités communes sera égal au produit des autres segments.

Ce théorème se démontre à peu près comme celui qui précède.

THÉORÈME XIV

Toute parallèle à l'on des rayons d'an faisceau harmonique est partagée en deux parties égales par les trois autres rayons.

Lorsque, après avoir partagé harmoniquement une droite Fig. 107. AB aux points G, D, on joint les points A, B, C, D avec un point quelconque 0, les quatre droites OA, OB, OC, OD forment ce qu'on appelle un faisceau harmonique.

Cette définition étant admise» menons, par le point B, MN parallèle à OA ; nous aurons

BM=AO.Jg, BN=A0.55.

Mais !£ = K ; donc BM=BN -

Réciproque. Si, par le sommet d'un triangle, on mène une médiane et la parallèle à la base correspondante, ces deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux autres côtés du ftiapgle.

THÉORÈME XV

Si l'on mène, dans un faiseeau harmonique, une transversale quelconque, elle est coupée harmoniquement par les quatre rayons.

Ce théorème est évident par celui qui précède.

THÉORÈME XVI

Deux points réciproques quelconques G, D partagent harmoniquement le diamètre AB qui les contient.

Deux points C, D, situés sur un diamètre AB, et d'un Fig. 112. même côté par rapport au centre 0, sont dits réciproques,

64 ratOBÈMBS IT PROBLÈMES

lorsque le rectangle de leurs distances au centre est ëquboalent au carré du rayon; c'est-à-dire lorsque Ton a

0C.0D=ÔB. 2

Il est évident, d'après cette définition, que si le point C est

intérieur au cercle, son conjugué D sera extérieur.

Cela posé, il s'agit de démontrer la proportion

ac ÀD.