FL FH

FD FK' #

D'ailleurs, FH. FH'= FL. FE ;

donc, en multipliant membre à membre, FH'.FK'=FD.FE.

Cette relation nous apprend que les quatre points H' , K', D, E sorit sur une même circonférence.

Soit maintenant G le point inconnu où la droite AF rencontre le cercle cherché 0. Nous aurous

FD.FE=FA.FG; d'où, à cause de l'égalité précédeute , FH\ FK'=FA.FG.

Ainsi, les quatre points A, H', K', G sout situés sur une même circonférence.

Construction. Après avoir meuè la ligne des centres BC et avoir construit le centre de similitude F, on mène AF. Par les trois points A, H', K f on fait passer une circonférence, laquelle coupe AF en un point G. Il suffit ensuite de faire passer, par les deux points A, G, une circonférence qui touche Tuu des deux cercles donués : elle touchera en même temps Tautre, et satisfera à la question.

DB CrtOMÉTElB ÉLÉMBNT AIRE . 149

Remarque. Par les points A « G, oïl peut faire passer deux circonférences tangentes au cercle B. En même temps, Ton peut remplacer le centre de similitude externe F par le centre de similitude interne. Donc le problème admet, généralement, quatre solutions.

PROBLÈME XXXIII

Décrire une circonférence qui passe par in point donné A, et qui touche nne droite donnée BG et une circonférence donnée I.

Sait E le point inconnu où la circonférence cherchée Fig. 174. touche la droite BC, et soit D le point de contact des deux circonférences. Menons 01 qui passe par ce poiut D ; joignons le centre inconnu au point E ; menons, par le centre donné I, la droite FIKH perpendiculaire & BC ; enfin, tirons les cordes ED,FD, DK.

Le rayon OE, perpendiculaire à la tangente BG, est parallèle à IF; donc les angles EOD, FID sont égaux comme alternes internes, et les deux triangles isocèles EOD, FtD sont semblables. Par suite, les points E, D, F sont sur une même ligne droite. Il résulte de là que 1'augle EDK est droit, parce qu'il est supplémentaire de l'angle FDK, inscrit dans un demi-cercle.

Le quadrilatère EDKH a deux angles opposés droits ; donc la circonférence décrite sur EK comme diamètre passerait par les sommets D, H. Nous aurons donc