FD.FE=FK.FH

Soit maintenant G le point où la droite connue AF rencontre la circonférence cherchée 0. Nous aurons aussi FA.FG=FD.FE.

La comparaison de ces deux égalités donne FA.FG=FK.FH.

Ainsi, les quatre points A, 6, E, H sont situés sur une même circonférence.

On construira donc aisément le point 6, après quoi il ne s'agira plus que de faire passer, par les points A, G, une circonférence tangente à la droite BC.

Remarque. Le problème admet, en général, quatre solutions.

Décrire une circonférence qui touche deux droites données AB, AC, et une circonférence donnée I.

Fie 175. Soient N, P, R les points de contact de la circonférence avec les deux droites données et avec la circonférence I. Menons ON, OP, OR; du point 0, décrivons une circonférence qui passe par le centre I de la circonférence donnée : elle coupera les prolongements des droites ON, OP eu des points M, Q tels, que MN — PQ = IR. Conséquemment, si Ton mène aux droites données AB, AC, des parallèles A'B\ A'C qui en soient distantes d'une longueur égale au rayon IR de la circonférence donnée, ces parallèles seront tangentes à la circonférence 01.

On est donc ramené à trouver le centre d'une circonférence passant en un point donné I, et tangente à deux droites données A'B', A'C'.

Remarque. Le problème admet, ordinairement, deux solutions*

Déerire une circonférence tangente à une droite donnée PQ et à deux circonférences données AN, BH.

Il peut arriver plusieurs cas : 1° la circonférence cherchée peut toucher extérieurement les deux circonférences données ; 2° elle peut les toucher intérieurement ; 3° elle peut toucher l'une d'elles intérieurement et l'autre extérieurement. Ce qui fait, en tout, quatre solutions.

Soit le centre de la circonférence qui touche la droite Fig. 176. PQ et qui est tangente, extérieurement, aux deux circonférences données. Décrivons, du point comme centre, une circonférence passant par le centre A de la plus petite des deux circonférences données : elle touchera la circonférence décrite du point B comme centre avec un rayon BF égal à la différence des rayons donnés ; elle touchera aussi la droite P'Q' menée parallèlement à PQ, à une distance de cette droite égale au rayon AD de la plus petite circonférence. La question est donc ramenée au Problème XXXIII.

Remarque. La droite P'Q' donnera deux des solutions du problème. Pour avoir les deux autres, on devra prendre la droite P"Q", symétrique de P'Q' relativement à la droite donnée PQ.

Décrire une circonférence tangente à trois circonférences données A, B, C.

Première solution. SoitO le centre de la circonférence Fig. 177. .demandée, et soient M, N, P les points de contact inconnus. Menons OA, OB, OC. Décrivons, du point comme centre, une circonférence qui passe par le centre B du plus

192 THtOMlW R PBOBLfcUS

petit des trois cercles donnés, et qui coupe les droites OA, OC aux points D, E: elle sera tangente aux cercles qui seraient décrits des points A et G comme centres, avec AD et CE pour rayons» Le problème est donc ramené à celui-ci : décrire une circonférence OB qui passe par un point donné B, et qui touche deux circonférences données. Ce dernier problème a été résolu ci-dessus : il admet quatre solutions.

En remplaçant les cercles AD, CE par deux cercles ayant pour rayons, respectivement, AM+BP, CN+BP, on obtiendra les quatre autres circonférences qui satisfont à la question.

Seconde solution. L'élégante solution qu'on va lire est due en partie à Bobillier, en partie à M. Gergonne ; elle est extraite, presque textuellement, de la Géométrie du premier de ces deux savants professeurs.

Les circonférences données peuvent être touchées toutes trois extérieurement ou toutes trois intérieurement; chacune peut être touchée extérieurement et les deux autres intérieurement, ou bien intérieurement et les deux autres extérieurement.

Deux circonférences, qui déterminent sur chacune des trois circonférences données un contact extérieur et un contact intérieur, sont appelées circonférences conjuguées. Fig. 178. Considérons les deux circonférences conjuguées abc, a'b'c', qui touchent les circonférences données, Tune extérieurement et Vautre intérieurement. Le point de contacta' est le centre de similitude directe de a'b'c', a'a'ut' ; le point a est le centre de similitude inverse de abc, aa'a H . Donc la droite aa' doit passer par le centre de similitude inverse de abc, a'b'e'. Il en est de même pour bb' et pour ce'. Par

DE GÉOMéTIIB ÉLÉMIÎITÀlRE. 1S3

conséquent, ces trois droites concourent en un point o, qtai est ce centre de similitude. De plus, si l'on prolonge sa' en s, et ce/ en t, les droites os et oa', ot et oc seront des droites homologues; d'où résulte

os ot

oa' OU?*

ou os.oc'=oa'.ot.

On a aussi oc.ot=os.oa;

donc oc.oc r —oa.oa'=ob.ob'.

Le point o est donc le centre radical des trois circonférences

données.

La droite ab, passant par le centre de similitude inverse de abc, aa'al', et par le centre de similitude inverse de abc, bb'b", doit contenir le centre de similitude directe de aa'a", bb'W. Il en est de même pour a'b\ Donc m est ce centre de similitude. De même, m' est le centre de similitude directe de bb'b", cc'd' ; enfin m" est le centre de aa'a", cc'c". Donc mm 'm f/ est l'axe de similitude directe des trois circonférences données.

A cause de la relation oa.oa'—oc.oc',, les quatre points a, a', c, c' sont situés sur une même circonférence ; donc

m''a.mV=mV.mV.

Ainsi, le point m" appartient à Taxe radical des deux circonférences cherchées. On prouverait de la même manière que les points m 1 et m!' appartiennent à cet axe ; d'où Ton conclut que mm'm", axe de similitude directe des trois circonférences données, est en même temps Taxe radical des deux circonférences conjuguées.

Puisqu'il en est ainsi, les tangentes en a et a' doivent se couper en un point x situé sur cette droite; et il en est de

même pour les tangentes en 6, 6', et pour les tangentes en c, c'.

La polaire du point x est aa'; donc le pôle p de mm' ni' doit se trouver sur aa f . Ainsi, tes pôles de taxe de similitude directe des trois circonférences données, par rapport à chacune d'elles, sont placés respectivement sur les trois cordes de contact aa', bb', cc f .

De là, cette construction : 1° tracez Vaxe de similitude des trois circonférences À, B, C; 2° cherchez les pôles de cet axe par rapport à chaque circonférence; 3° joignez ces pôles p, p', p" au centre radical o.

En remplaçant Taxe de similitude directe par chacun des trois axes de similitude inverse, on obtient les trois autres couples de circonférences conjuguées.

Décrire une circonférence passant par deux points donnés A, B et interceptant, sur un cercle donné G, une corde DE de longueur donnée L.

Fig. 179. Faisons passer, par les points À, B, une circonférence quelconque ABFG, qui coupe en F, G la circonférence donnée C. Les deux cordes AB, FG et la corde inconnue DE se coupent en un même point I (Th. XXVII). Ce point étant obtenu par la construction précédente, il suffira d'inscrire, dans le cercle donné C, une corde DE, de longueur donnée, passant par le point donné I.

Décrire une circonférence I, qui passe par deux points donnés A, 8, et qui coupe, suivant un diamètre , une circonférence donnée 0.

Ce problème peut être regardé comme un cas particulier Fig. 180. de celui qui précède. Ou peut aussi le résoudre directement comme il suit.

Si Ton joint le point A au centre de la circonférence donnée, et qu'on prolonge AO jusqu'à sa rencontre en E avec la circonférence I, on aura OE.OA=OC.OD=R*. On obtient donc le point E en construisant une troisième proportionnelle DE à la droite AO et au rayon R du cercle donné.

Trouver sur un arc AB un point G tel , que le rectangle de ses distances aux extrémités de l'arc soit équivalent à un carré donné p 2 .

Si Ton mène le diamètre CD, et qu'on abaisse CEper- Fig. 169. pendiculaire à AB, on aura, d'après un théorème connu, AC.CB=CD.CE ; et, par suite, CD.CE=p 2 . On tire, de

cette dernière égalité, CE= — . La distance du point C à

la corde AB étant connue , le problème peut être regardé comme résolu.

Par un point A, extérieur à un cercle 0, mener une droite ABC qui soit partagée en moyenne et extrême raison par la circonférence.

1° Supposons d'abord que la corde BG soit le plus grand Fro» 181. des deux segments de là droite ABC, de manière que

CB=AC.AB. v

196 THftORtaRg ET PROBLÈMES

Si nous menons la tangente AD, nous aurons