AG.AH=AB.AF

Dans cette égalité, tout est connu, excepté AF. De plus, les quatre points G, H, B, F sont sur une même circonférence, etc.

PROBLÈME Ll.

Inscrire, à un cercle donné, un triangle MNP, dont les côtés passent par trois poinls donnés A, B, (L

Fig. 191. Imaginons encore, comme dans le problème précédent, NE parallèle à AB, puis la corde EMF qui rencoutre AB

DB GÉOMÉTRIE «LÉMEKTÂIBB. 437

en F. Nous pourrons, comme ci-dessus, construire le point F, après quoi il ne s'agira plus que d'inscrire, dans le cercle 0, un triangle EMN dont deux côtés passent par deux points donnés G, F, et dont le troisième côté soit parallèle à une droite donnée AB : ce problème est précisément celui qui précède.

Remarque. La question que nous venons de résoudre est connue sous le nom de problème de Castillon. Résolue d'abord par ce géomètre, elle Ta été ensuite, de différentes manières, par Lagrange, par Giordano di Ottaiano, et par Malfatti. (Voyez Nouvelles Annales de Mathématiques, t. m, page 463.)

Inscrire, à on cercle donné 0, on polygone dont on côté passe par on point donné A 7 et dont les antres côtés soient respectivement parallèles à des droites données.

Il y a deux cas à distinguer, suivant que le nombre n des Fig. 192. côtés du polygone est impair ou pair.

1° n impair.

Inscrivons dans la circonférence, à partir d'un point quelconque M', une ligne brisée M'N'P'Q'R'ST' dont les côtés soient, respectivement, parallèles aux directions données. Nous obtiendrons ainsi un arc MIT' égal à Tare inconnu MIT. En effet,

M1T'=MIT+MM'— TT' et, à cause des couples de cordes parallèles,