AM' + M'6>A
et, en ajoutant B6 de part et d'autre :
AM'-^BM'>Afr-hB&.
Si donc nous disptfsorts dti |)6tatM de manière à vérifier l'inégalité Afr+B6>AM4-BM, nous aurons, à plus forte ririsen, AM'4-BM'>AM + BM.
Or, pour que H somme des dteutficfes AM, BM soU moindre que kb + B6, 6 étant un point quefeftfrqtfë de MT,
J44 THÉ01ÈMES BT PROBLÈMES
H faut (I, Probl. X) que les deux droites AM, BM soient également inclinées sur la normale MC. En d'autres termes: la droite CMC, qui joint le sommet C au point M, doit diviser en deux parties égales l'angle formé par les droites menées de ce même point aux deux autres sommets.
Ce que nous disons du sommet C s'applique aux deux autres ; c'est-à-dire que le point, dont la somme des distances à trois points donnés est un minimum, est tel, que chacune des trois droites qui le joignent aux points donnés, est la bissectrice de l'angle formé par les deux autres.
On conclut facilement de là que chacun des trois angles formés autour du point M est égal à 120°. Conséquemment, le point M est celui d'où les côtés du triangle ABC sont vus sous un môme angle. Il est donc bien facile de le construire. (II, Th. H.)
M étant le point dont la somme des distances aux trois sommets d'un triangle donné ABC , est nn minimum, on demande (F exprimer cette somme en fonction des côtés.
Fig. 221. Désignons par a, b, c les longueurs des côtés, par x, y, % les distances MA, MB, MC, et par s leur somme. Les trois triangles ABM, BCM, ACM donnent, comme il est facile de le vérifier :
b*=z*+x*+xz,
Nous aurons ensuite, en exprimant que Taire T du triangle ABC est égale à la somme des aires des trois autres triangles :
DE GéOMéTRJK ÉLÉMENTAIRE. 445
On déduit, de ces quatre équations,
ou « a =2T|/3 -h | (a a -h** +c*).
Trouver un point M tel, que la somme des carrés de ses distances aux trois côtés d'un triangle ABC soit un minimum.
Du point cherché M, abaissons les perpendiculaires MP, Fig. 221 . MQ, MR, sur les côtés du triangle donné, et menons PQ, QR, RP. Puis, d'un autre point quelconque M\ abaissons les perpendiculaires M 'P',M'Q', M'R', et les obliquesM'P, M'Q, M 'R. Nous aurons
MP + MQ + MR<M'P'+M'Q'+M'R';
et, à plus forte raison,
MP+MQ+M^^+I^+M!
Conséqueaiment le point M est tel, que la somme des carrés de ses distances aux points P, Q, R, est un minimum. Ce point est donc (Th. III) le centre des moyennes distances du triangle PQR.
Menons la droite CM, et soit C le point où elle coupe le F IG . 222. côté AB. Abaissons CD, CE perpendiculaires sur AC, BC. Menons encore, des points P, Q, les perpendiculaires PG, QF sur la médiane RM : ces droites seront égales entre elles. Enfin, soit CI la hauteur du triangle ABC. . Pour évaluer le rapport de AC à BC, observons d'abord
446 THéoRfems et problème»
que les deux triangles rectangles AC'D, AGI, évidemment semblables, donnent
CD
Nous aurons de même
ÀC'=AC.^.
