AC AC

puis .^ = S?-

Ainsi, 1° les distances du pointM aux côtés du triangle sont 'proportionnelles à ces côtés; 2° la droite menée du point M à un sommet partage le côté opposé en deux segments proportionnels aux carrés des côtés adjacents.

Remarque. Nommons a, b, c les côtés du triangle, dont Taire sera représentée par T, et soient a, |3, y les distauces MP, MQ, MR. Nous aurons, dans le triangle ABC,

2T=aa + ty3+Cy;

Dl GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 447

puis, par ce qui précède,

Ces relations donnent

Le minimum cherché est donc

a 2 H-/3*+ 7 a = 4Tt

a'-hôM-c*

Étant donnés on cercle et nne droite AB, trouver sur le diamètre OE , perpendiculaire à cette droite, un point P tel, que, menant par ce point une corde quelconque CC, et abaissant des extrémités de cette corde les perpendiculaires CD, CD' sur la droite donnée, on ait

CD ~^~ CTF =r constante.

Remarquons d'abord que la condition donnée équi- Fig. 254

vaut à cd+cd' ~ constan ^ e -

Conséquemment, nous allons évaluer' la somme et le rectangle des perpendiculaires CD, C'D\ ê

Soit R le point de rencontre de CC avec la droite donnée ; nous aurons

CD=||CR, CT>'=gC'R; d'où CDX'D'^fUj'CR.C'R, CD + C'D^pIlCR+C'R).

Pour transformer la première relation, menons la tangente RT : elle est moyenne proportionnelle entre CR etC'R;donc

CD.C , D'=(f|) , RT 2 ,

ou, à cause des deux triangles rectangles OTR, OER : CD.C'D'=(||) f (ÔE *+m- R*) ,

R étant le rayon du cercle.

Abaissons OF perpendiculaire à la corde GC : nous aurons