OM OA

Les distances du point M aux centres 0, 0' étant dans un rapport constant, le lieu de ce point géra une circonférence ayant son centre sur la ligne des centres.

Pour la déterminer complètement, menons les tangentes communes CC, DD', et soient T, T' les points où elles coupent la ligne des centres; nous aurons, par un théorème connu :

ot or OA

O'T , r grjv

Il suit de là que le lieu des points M est la circonférence décrite sur TT comme diamètre.

Étant donnés deux points fixes A, B et deux longueurs constantes X, p, ou prend, sur la direction de AB, un point quelconque H qu'on regarde comme le centre d'un cercle décrit d'un rayon R, déterminé par la relation

R.AB=X.AM+ fJt .BM.

Prouver que les différents cercles, ainsi décrits pour les différents points M de la droite AB, sont tous tangents à deux mêmes droites fixes.

Fig. 228. Décrivons, des points A et B comme centres, avec p et 1 pour rayons, les circonférences CC etDD' ; menons, à ces deux circonférences, les tangentes communes CD, C'D f ; abaissons, sur ces deux droites, les perpendiculaires ME, ME', évidemment égales entre elles; enfin décrivons, du point M comme centre, la circonférence EE', laquelle sera tangente aux deux droites CD, CD'. Cette circonférence sera précisément celle qui est déterminée par la relation ci-dessus. En effet, à cause des parallèles AC, ME, BD, nous avons (Th. I)

ME.AB=X.AM + F .BM; donc ME =R.

Par l'un des points d'intersection de deux circonférences o, o', on mène deux droites rectangulaires Va, Va, qui rencontrent la ligne des centres en a, a, et les deux circonférences en b, c et U , c\ Il s'agit de démontrer

qu'on a toujours ^==7^'

Fie 229. Les angles en P étant droits, les cordes ce', bb r seront des diamètres. D'ailleurs, les deux triangles bPb', cPc' coupés par la transversale oo\ donnent

DE GÊOMÉTRIK ÉLÉMENTAIRE. 161

*• ba.?a'.b'o'=bo'.b'a'.?a f co . c'a' . Pa=ca . Pa' . c'o ; d'où, à cause de fo'=&V, co=c'o,

ba.c f a r =ca.b'a'; etc.

Étant donnés deilx axes fixes Ox, Oy, autour d'un point fixe P on fait tourner un angle aVb de grandeur donnée a. On demande de prouver qu'il existe sur l'axe Ox un point fixe A, et sur l'axe Oy un point fixe B, tels que le rectangle des segments ka, Bé reste constant pour toutes les positions de l'angle.

Si la proposition énoncée est vraie, il sera facile de p lQt 230. déterminer les positions des points A et B. En effet, supposons que le point variable a coïncide avec A ; alors le segment ka s'annule; donc, pour que le rectangle des deux segments puisse être différent de zéro, il faut que le segment B6 devienne infini, ou que le côté Bb soit parallèle à Oy.

Ainsi, pour obtenir le point A, nous menons PD parallèle à Oy, et nous faisons l'angle DPA égal à <x.

De même, après avoir mené PC parallèle à Ox 9 nous ferons CPB=a.

Il s'agit donc de vérifier que les points A et B étaut déterminés comme il vient d'être dit, le rectangle ka.Bb est constant.

Or, si des deux angles égaux &Pa, DPA, nous retranchons la partie commune DPa, il restera les deux angles fcPD, oPA, égaux entre eux. D'ailleurs, les angles MPD, BftP sont égaux comme alternes internes ; donc aPA=B6P.

On prouverait, de la même manière, que les angles MPB, AaP sont égaux. Il résulte de là que les deux triangles AaP,

Art AP

BMP sont semblables. Par suite, ^=^ 5 ou Aa.B&=AP.BP.

Par un point 0, pris sur le prolongement d'un diamètre BA du cercle C, on mène une sécante quelconque OMIT; on prend les milieux N, W des arcs AM, AM'; on joint le centre C aux points N, N', par les droites CN, CN', lesquelles rencontrent en D, D' la perpendiculaire menée au diamètre AB par le point 0. Prouver que le rectangle de OD par OD' est constant, quelle que soit la direction de la sécante.

Fig. 231. Menons la droite BME : elle sera parallèle à CND. En effet, l'angle ABM a pour mesure la moitié de Tare AM ; donc il est égal à ACN ; donc, etc. Pour la même raison , BM'E' est parallèle à CN'D\ Cela étant, nous aurons, à cause des parallèles,