MN — MP

Les angles QMN, ABC sont égaux, comme ayant les côtés perpendiculaires chacun à chacun. De même, l'angle NMP est égal à BAC. Donc les angles QMN, NMP sont égaux entre eux.

Par suite, les triangles MQN, MNP sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels ; et les triangles QBN, NAP sont équiangles entre eux. Donc les deux quadrilatères MQBN, MNAP sont semblables.

Menons les diagonales MB, MA : nous formerons deux triangles rectangles MQB, MNA, lesquels, à cause de la similitude des quadrilatères, seront semblables ; donc les angles MBQ, MAB seront égaux entre eux; d'où il suit que l'angle AMB sera constamment égal à l'angle CBA du triangle donné. Le lieu du point M sera donc la circonférence tangente en A et en B aux deux côtés AC, BC.

Remarque. Les extrémités D, E du diamètre COE sont les centres des cercles inscrit et ex-inscrit au triangle ABC.

DR GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. i 57

Quel est le lieu des points M d'où deux cercles 0, 0' sont vus sous des angles égaux?

Menons, du pointM, deux tangentes MA, MB au cercle Fie 206. : l'angle ÀMB est celui sous lequel un observateur, placé en M, verrait le cercle 0. Menons de même les tangentes MA', MB'. 11 faudra, d'après renoncé, que les angles AMB, A'MB' soient égaux entre eux.

Or, si nous joignons les deux centres au point M et aux points de contact A, A-, par les droites OM, O'M, OA, O'A', nous formerons deux triangles rectangles dans lesquels les angles en M, moitiés d'angles égaux, seront égaux entre eux; donc ces triangles seront semblables; et nous aurons :